98指考數學乙非選第12題詳解

$(1)$ 設原始狀態為 $A:a$，$B:b$。第一步將 $A$ 瓶的溶液倒出一半到 $B$ 瓶，得 $$A:\dfrac{a}{2}, \ B:b+\dfrac{a}{2}.$$ 第二步再將 $B$ 瓶的溶液倒出一半回 $A$ 瓶，得 $$A:\dfrac{a}{2}+\dfrac{1}{2}\left(b+\dfrac{a}{2}\right)=\dfrac{3}{4}a+\dfrac{1}{2}b,$$ $$B:\dfrac{1}{2}\left(b+\dfrac{a}{2}\right)=\dfrac{1}{4}a+\dfrac{1}{2}b.$$ 故 $$\begin{bmatrix} a_1 \\ b_1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \dfrac{3}{4} & \dfrac{1}{2} \\ \dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{2} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}.$$ $(2)$ 當 $a=\frac{2}{3}$，$b=\frac{1}{3}$ 時， $$\begin{bmatrix} \dfrac{3}{4} & \dfrac{1}{2} \\ \dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{2} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \dfrac{2}{3} \\ \dfrac{1}{3} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \dfrac{2}{3} \\ \dfrac{1}{3} \end{bmatrix}.$$ 所以重複操作 $100$ 輪後仍為 $$a_{100}=\dfrac{2}{3}, \ b_{100}=\dfrac{1}{3}.$$ $(3)$ 第二輪操作後， $$\begin{bmatrix} a_2 \\ b_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \dfrac{3}{4} & \dfrac{1}{2} \\ \dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{2} \end{bmatrix}^2\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \dfrac{11}{16} & \dfrac{5}{8} \\ \dfrac{5}{16} & \dfrac{3}{8} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}.$$ 此時 $A$ 瓶溶液總量為 $\frac{11}{16}\times\frac{2}{3}+\frac{5}{8}\times\frac{1}{3}$，其中酒精量為 $\frac{11}{16}\times\frac{2}{3}$，故酒精比例為 $$\dfrac{\dfrac{11}{16}\times\dfrac{2}{3}}{\dfrac{11}{16}\times\dfrac{2}{3}+\dfrac{5}{8}\times\dfrac{1}{3}}=\dfrac{11}{16}=68.75\%.$$ 另解 $(1)$ 一輪操作： - A 瓶倒出一半到 B：$A$ 剩 $\frac{1}{2}a_{n-1}$，$B$ 變 $b_{n-1}+\frac{1}{2}a_{n-1}$。 - B 瓶倒出一半回 A：$B$ 剩 $\frac{1}{2}(b_{n-1}+\frac{1}{2}a_{n-1})=\frac{1}{4}a_{n-1}+\frac{1}{2}b_{n-1}$，$A$ 變 $\frac{1}{2}a_{n-1}+\frac{1}{2}(b_{n-1}+\frac{1}{2}a_{n-1})=\frac{3}{4}a_{n-1}+\frac{1}{2}b_{n-1}$。 因此 \begin{aligned} a_n&=\frac{3}{4}a_{n-1}+\frac{1}{2}b_{n-1}\\[4pt] b_n&=\frac{1}{4}a_{n-1}+\frac{1}{2}b_{n-1} \end{aligned} 寫成矩陣形式： $$\begin{bmatrix}a_n\\b_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{4}&\frac{1}{2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_{n-1}\\b_{n-1}\end{bmatrix}$$ $(2)$ 令 $M=\begin{bmatrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{4}&\frac{1}{2}\end{bmatrix}$。先求 $M$ 的特徵值與特徵向量。特徵方程式： $$\det(M-\lambda I)=\begin{vmatrix}\frac{3}{4}-\lambda&\frac{1}{2}\\\frac{1}{4}&\frac{1}{2}-\lambda\end{vmatrix}=(\frac{3}{4}-\lambda)(\frac{1}{2}-\lambda)-\frac{1}{8}=\lambda^2-\frac{5}{4}\lambda+\frac{1}{4}=0$$ $$(\lambda-1)(\lambda-\frac{1}{4})=0$$ 得 $\lambda_1=1$，$\lambda_2=\frac{1}{4}$。 當 $\lambda_1=1$：$(M-I)\overset{\large\rightharpoonup}{v}=\mathbf{0}$，得特徵向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{v}_1=\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}$。 當 $\lambda_2=\frac{1}{4}$：$(M-\frac{1}{4}I)\overset{\large\rightharpoonup}{v}=\mathbf{0}$，得特徵向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{v}_2=\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}$。 初始向量 $\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}\end{bmatrix}$ 可表為 $\overset{\large\rightharpoonup}{v}_1,\overset{\large\rightharpoonup}{v}_2$ 的線性組合： $$\begin{bmatrix}\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}\end{bmatrix}=c_1\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}+c_2\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}$$ 解得 $c_1=\frac{1}{3}$，$c_2=0$。因此 $$\begin{bmatrix}a_n\\b_n\end{bmatrix}=1^n\cdot\frac{1}{3}\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}+(\frac{1}{4})^n\cdot 0\cdot\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}\end{bmatrix}$$ 對所有 $n$ 皆成立。所以 $a_{100}=\frac{2}{3}$，$b_{100}=\frac{1}{3}$。 $(3)$ $A$ 瓶的酒精量 $x_n$ 滿足 $x_n=\frac{3}{4}x_{n-1}+\frac{1}{2}\cdot 0$（$B$ 瓶初始無酒精，但一輪後 $B$ 瓶含有部分酒精）。實際上需用矩陣追蹤酒精。 更精確的分析：每輪 $A\to B$ 倒一半（含酒精），$B\to A$ 回倒一半。初始 $A$ 瓶酒精 $\frac{2}{3}$，$B$ 瓶酒精 $0$。 設第 $n$ 輪後 $A$ 瓶酒精量為 $x_n$，$B$ 瓶為 $y_n$。類似 $(1)$ 的推導，酒精也滿足相同的轉移矩陣 $M$，因為每次倒都是均勻混合後倒一半。 初始 $x_0=\frac{2}{3}$，$y_0=0$。 $$\begin{bmatrix}x_0\\y_0\end{bmatrix}=\frac{1}{6}\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}+\frac{1}{6}\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}$$ 即 $c_1=\frac{1}{6}$，$c_2=\frac{1}{6}$。因此 $$\begin{bmatrix}x_n\\y_n\end{bmatrix}=1^n\cdot\frac{1}{6}\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}+(\frac{1}{4})^n\cdot\frac{1}{6}\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}$$ 當 $n\to\infty$（或 $n=100$ 時 $(\frac{1}{4})^{100}\approx 0$），$\begin{bmatrix}x_n\\y_n\end{bmatrix}\to\begin{bmatrix}\frac{1}{3}\\\frac{1}{6}\end{bmatrix}$。$A$ 瓶總溶液 $a_n=\frac{2}{3}$，所以酒精比例為 $$\frac{x_{100}}{a_{100}}=\frac{\frac{11}{16}\times\frac{2}{3}}{\frac{11}{16}\times\frac{2}{3}+\frac{5}{8}\times\frac{1}{3}}=\frac{11}{16}=68.75\%$$