(1) **求二階轉移方陣**： 設第 $n-1$ 輪操作後，$A$、$B$ 兩瓶的溶液量分別為 $a_{n-1}$ 與 $b_{n-1}$ 公升。 在第 $n$ 輪的操作中： - **步驟一**：將 $A$ 瓶溶液倒出一半到 $B$ 瓶。 此時 $A$ 瓶剩下 $\dfrac{1}{2} a_{n-1}$ 公升；$B$ 瓶的溶液量增加為 $b_{n-1} + \dfrac{1}{2} a_{n-1}$ 公升。 - **步驟二**：再將 $B$ 瓶溶液倒出一半回 $A$ 瓶。 此時 $B$ 瓶剩下的溶液量 $b_n$ 為先前的一半： $$b_n = \dfrac{1}{2} \left( b_{n-1} + \dfrac{1}{2} a_{n-1} \right) = \dfrac{1}{4} a_{n-1} + \dfrac{1}{2} b_{n-1}$$ 而 $A$ 瓶最後的溶液量 $a_n$ 則為原本剩下的一半加上由 $B$ 瓶倒回的一半： $$a_n = \dfrac{1}{2} a_{n-1} + b_n = \dfrac{1}{2} a_{n-1} + \left( \dfrac{1}{4} a_{n-1} + \dfrac{1}{2} b_{n-1} \right) = \dfrac{3}{4} a_{n-1} + \dfrac{1}{2} b_{n-1}$$ 寫成矩陣乘法形式： $$\begin{bmatrix} a_n \\ b_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3/4 & 1/2 \\ 1/4 & 1/2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_{n-1} \\ b_{n-1} \end{bmatrix}$$ 故所求的二階方陣為 $\begin{bmatrix} 3/4 & 1/2 \\ 1/4 & 1/2 \end{bmatrix}$。 (2) **當初始值 $a=2, b=1$ 時，求 $a_{100}$ 及 $b_{100}$**： 初始溶液狀態為 $\begin{bmatrix} a_0 \\ b_0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}$。我們代入轉移矩陣計算第一輪結果： $$\begin{bmatrix} a_1 \\ b_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3/4 & 1/2 \\ 1/4 & 1/2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3/4 \times 2 + 1/2 \times 1 \\ 1/4 \times 2 + 1/2 \times 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}$$ 由於轉移後的狀態與初始狀態完全相同，這表示向量 $\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}$ 是該矩陣對應特徵值 $\lambda = 1$ 的特徵向量（即穩定狀態）。 因此，不論重複操作多少輪，兩瓶的溶液量都會維持不變。 故 $a_{100} = 2$，$b_{100} = 1$。 (3) **計算第二輪操作後 $A$ 瓶的酒精百分比**： 由於兩瓶溶液量在每輪操作後皆維持 $A = 2$ 公升、$B = 1$ 公升，我們只需追蹤「純酒精」的流動量： - **初始狀態**：$A$ 瓶有 $2$ 公升純酒精；$B$ 瓶有 $0$ 公升純酒精。 - **第一輪操作**： 1. 將 $A$ 瓶溶液（$2$ 公升純酒精）倒出一半到 $B$ 瓶。 此時 $A$ 瓶剩 $1$ 公升純酒精；$B$ 瓶有 $1$ 公升水與 $1$ 公升純酒精，濃度為 $50\%$。 2. 將 $B$ 瓶溶液（$2$ 公升，濃度 $50\%$）倒出一半（即 $1$ 公升）回 $A$ 瓶。 $A$ 瓶得到 $1$ 公升的 $50\%$ 溶液（含 $0.5$ 公升純酒精），使得 $A$ 瓶含有 $1 + 0.5 = 1.5$ 公升純酒精，濃度為 $75\%$。 $B$ 瓶此時剩下 $1$ 公升溶液，含有 $0.5$ 公升純酒精。 - **第二輪操作**： 1. 將 $A$ 瓶溶液（$2$ 公升，濃度 $75\%$）倒出一半（即 $1$ 公升）到 $B$ 瓶。 $A$ 瓶剩 $1$ 公升，含 $0.75$ 公升純酒精。 $B$ 瓶原本有 $1$ 公升且含有 $0.5$ 公升純酒精，加入 $1$ 公升 $75\%$ 溶液後，總共含有 $0.5 + 0.75 = 1.25$ 公升純酒精。此時 $B$ 瓶濃度為 $\dfrac{1.25}{2} = 62.5\%$。 2. 將 $B$ 瓶溶液（$2$ 公升，濃度 $62.5\%$）倒出一半（即 $1$ 公升）回 $A$ 瓶。 $A$ 瓶得到 $1$ 公升的 $62.5\%$ 溶液（含 $0.625$ 公升純酒精）。 最後 $A$ 瓶內總純酒精量為： $$0.75 + 0.625 = 1.375\text{ 公升}$$ 由於 $A$ 瓶的總溶液量依然為 $2$ 公升，故酒精百分比為： $$\dfrac{1.375}{2} = 0.6875 = 68.75\% \ \left( \text{或 } \dfrac{11}{16} \right)$$ 答：酒精百分比為 $68.75\%$。