設公司承租平地 $x$ 單位面積，山坡地 $y$ 單位面積。 根據題意，面積限制為非負實數，即： $$x \ge 0, \ \ \ y \ge 0$$ 我們根據年租金限制與種植成本限制列出線性規劃的二元一次不等式組（限制條件）： 1. **土地年租金限制**（上限 $80$ 萬元）： $$30x + 20y \le 80 \implies 3x + 2y \le 8$$ 2. **種植成本限制**（上限 $130$ 萬元）： $$40x + 50y \le 130 \implies 4x + 5y \le 13$$ 目標函數為收成後獲得的總利潤 $P(x, y)$（以萬元為單位）： $$P(x, y) = 120x + 90y$$ 我們畫出可行解區域，並求出可行解區域的所有頂點坐標： - **原點** $O(0, 0)$。 - **與 $x$ 軸的交點** $A$：位於直線 $3x + 2y = 8$ 上（當 $y = 0$）： $$3x = 8 \implies x = \dfrac{8}{3} \implies A\left(\dfrac{8}{3}, 0\right)$$ - **與 $y$ 軸的交點** $C$：位於直線 $4x + 5y = 13$ 上（當 $x = 0$）： $$5y = 13 \implies y = \dfrac{13}{5} \implies C\left(0, \dfrac{13}{5}\right)$$ - **兩直線的交點** $B$： 聯立兩直線方程式： $$\begin{cases} 3x + 2y = 8 \\ 4x + 5y = 13 \end{cases}$$ 我們將第一式乘以 $5$，第二式乘以 $2$，得： $$\begin{cases} 15x + 10y = 40 \\ 8x + 10y = 26 \end{cases}$$ 兩式相減： $$7x = 14 \implies x = 2$$ 將 $x = 2$ 代回第一式： $$3(2) + 2y = 8 \implies 2y = 2 \implies y = 1$$ 故交點為 $B(2, 1)$。 我們使用**頂點法**，將各頂點坐標分別代入目標函數 $P(x, y) = 120x + 90y$，求其對應的利潤值： 1. 代入 $O(0,0)$： $$P(O) = 120(0) + 90(0) = 0 \text{ 萬元}$$ 2. 代入 $A\left(\dfrac{8}{3}, 0\right)$： $$P(A) = 120\left(\dfrac{8}{3}\right) + 90(0) = 320 \text{ 萬元}$$ 3. 代入 $C\left(0, \dfrac{13}{5}\right)$： $$P(C) = 120(0) + 90\left(\dfrac{13}{5}\right) = 234 \text{ 萬元}$$ 4. 代入 $B(2, 1)$： $$P(B) = 120(2) + 90(1) = 240 + 90 = 330 \text{ 萬元}$$ 比較所有頂點的目標函數值： $$330 \text{ 萬元} > 320 \text{ 萬元} > 234 \text{ 萬元} > 0 \text{ 萬元}$$ 在頂點 $B(2, 1)$ 時，利潤取得最大值 $330$ 萬元。 答：公司一年應租平地 $2$ 單位面積、山坡地 $1$ 單位面積，可獲得最大利潤為 $330$ 萬元。