105指考數學乙非選第12題詳解

（1）由機率分布表，各點數的機率為：$P(X=1)=x$、$P(X=2)=y$、$P(X=3)=y$、$P(X=4)=x$、$P(X=5)=y$、$P(X=6)=y$。 因為所有機率之和必為 $1$，所以： $$x+y+y+x+y+y = 2x+4y = 1$$ 即 $2x+4y=1$ ── （式1） 因為期望值 $E(X)=3$，所以： $$1\cdot x+2\cdot y+3\cdot y+4\cdot x+5\cdot y+6\cdot y = 5x+16y = 3$$ 即 $5x+16y=3$ ── （式2） 將 （式1） 乘以 $4$ 得 $8x+16y=4$，與 （式2） 相減： $$(8x+16y)-(5x+16y)=4-3 \implies 3x=1 \implies x=\frac{1}{3}$$ 將 $x=\frac{1}{3}$ 代入 （式1）：$2\cdot\frac{1}{3}+4y=1$，得 $4y=\frac{1}{3}$，所以 $y=\frac{1}{12}$。 故 $x=\frac{1}{3}$，$y=\frac{1}{12}$。 （2）投擲兩次點數和為 $3$ 的組合只有 $(1,2)$ 與 $(2,1)$ 兩種互斥情況。因為兩次投擲互相獨立，所以： $$\begin{aligned} P(X_1+X_2=3) &= P(X_1=1)P(X_2=2) + P(X_1=2)P(X_2=1) = x\cdot y + y\cdot x = 2xy \\[4pt] &= 2\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{12} = \frac{2}{36} = \frac{1}{18} \end{aligned}$$ 故點數和為 $3$ 的機率為 $\frac{1}{18}$。