### 第 (1) 小題 根據隨機變數機率分布的基本性質，所有可能取值的機率總和必須等於 $1$： $$\sum_{k=1}^{6} P(X=k) = 1$$ 將分布表中的機率代入，可得： $$x + y + y + x + y + y = 1 \implies 2x + 4y = 1 \ \ \text{── (式1)}$$ 接著，利用隨機變數期望值的定義，其期望值 $E(X) = 3$： $$E(X) = \sum_{k=1}^{6} k \times P(X=k) = 3$$ $$1(x) + 2(y) + 3(y) + 4(x) + 5(y) + 6(y) = 3$$ $$5x + 16y = 3 \ \ \text{── (式2)}$$ 我們來解聯立方程式： $$\begin{cases} 2x + 4y = 1 \\ 5x + 16y = 3 \end{cases}$$ 我們將 $\text{(式1)}$ 同乘以 $4$，得： $$8x + 16y = 4 \ \ \text{── (式3)}$$ 用 $\text{(式3)}$ 減去 $\text{(式2)}$，消去 $16y$： $$(8x + 16y) - (5x + 16y) = 4 - 3 \implies 3x = 1 \implies x = \dfrac{1}{3}$$ 將 $x = \dfrac{1}{3}$ 代回 $\text{(式1)}$ 以解出 $y$： $$2\left(\dfrac{1}{3}\right) + 4y = 1 \implies 4y = 1 - \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3} \implies y = \dfrac{1}{12}$$ 故得數對為： $$x = \dfrac{1}{3}, \ y = \dfrac{1}{12}$$ --- ### 第 (2) 小題 投擲該不公正骰子兩次，記所得點數分別為 $X_1$ 與 $X_2$。我們要求點數和為 $3$ 的機率，即 $P(X_1 + X_2 = 3)$。 兩次投擲所得點數和為 $3$ 的組合僅有以下兩種互斥的情況： 1. **第一次為 $1$ 點，第二次為 $2$ 點**，其機率為： $$P(X_1=1 \cap X_2=2) = P(X=1) \times P(X=2) = x \times y = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{12} = \dfrac{1}{36}$$ 2. **第一次為 $2$ 點，第二次為 $1$ 點**，其機率為： $$P(X_1=2 \cap X_2=1) = P(X=2) \times P(X=1) = y \times x = \dfrac{1}{12} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{36}$$ 由於這兩類事件是互斥事件，因此兩次點數和為 $3$ 的總機率為： $$P(X_1 + X_2 = 3) = P(X_1=1 \cap X_2=2) + P(X_1=2 \cap X_2=1) = \dfrac{1}{36} + \dfrac{1}{36} = \dfrac{2}{36} = \dfrac{1}{18}$$ 答：兩次投擲點數和為 $3$ 的機率為 $\dfrac{1}{18}$。