設等差數列 $\langle a_n \rangle$ 的首項為 $a_1$，公差為 $d$。 則數列的第 $n$ 項為 $a_n = a_1 + (n-1)d$。 根據題目所給的已知條件，我們可以列出兩個聯立方程式： 1. **第一個條件**：$a_2 + a_4 + a_6 = 186$ 將其用首項與公差表示： $$(a_1 + d) + (a_1 + 3d) + (a_1 + 5d) = 186 \implies 3a_1 + 9d = 186$$ 兩邊同除以 $3$ 簡化，得： $$a_1 + 3d = 62 \ \ \text{── (式1)}$$ 2. **第二個條件**：$a_3 + a_7 = 110$ 將其用首項與公差表示： $$(a_1 + 2d) + (a_1 + 6d) = 110 \implies 2a_1 + 8d = 110$$ 兩邊同除以 $2$ 簡化，得： $$a_1 + 4d = 55 \ \ \text{── (式2)}$$ 我們將 $\text{(式2)} - \text{(式1)}$ 解得公差 $d$ 的值： $$(a_1 + 4d) - (a_1 + 3d) = 55 - 62 \implies d = -7$$ 將 $d = -7$ 代回 $\text{(式1)}$ 以解首項 $a_1$： $$a_1 + 3(-7) = 62 \implies a_1 - 21 = 62 \implies a_1 = 83$$ 因此，數列的首項為 $a_1 = 83$，公差為 $d = -7$。 接下來，我們利用等差數列級數求和公式計算 $s_n$： $$s_n = \sum_{i=1}^{n} a_i = \dfrac{n}{2} \left[ 2a_1 + (n-1)d \right]$$ $$s_n = \dfrac{n}{2} \left[ 2(83) + (n-1)(-7) \right] = \dfrac{n}{2} \left[ 166 - 7n + 7 \right] = \dfrac{n}{2} (173 - 7n) = -\dfrac{7}{2}n^2 + \dfrac{173}{2}n$$ 最後，計算當 $n \to \infty$ 時，$\dfrac{s_n}{n^2}$ 的極限值： $$\lim_{n \to \infty} \dfrac{s_n}{n^2} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{-\frac{7}{2}n^2 + \frac{173}{2}n}{n^2} = \lim_{n \to \infty} \left( -\dfrac{7}{2} + \dfrac{173}{2n} \right) = -\dfrac{7}{2}$$ 因此，極限值為 $-\dfrac{7}{2}$。 答案為 $-\dfrac{7}{2}$。