根據二階方陣反方陣的定義與公式，對於方陣 $A = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ -2 & x \end{bmatrix}$： 首先計算其行列式： $$\det(A) = 3 \times x - 2 \times (-2) = 3x + 4$$ 由於已知 $A$ 存在反方陣 $A^{-1}$，故必滿足 $\det(A) \neq 0 \implies 3x + 4 \neq 0$。 方陣 $A$ 的反方陣 $A^{-1}$ 公式為： $$A^{-1} = \dfrac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} x & -2 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} = \dfrac{1}{3x + 4} \begin{bmatrix} x & -2 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$$ 題目已知 $A^{-1}$ 恰好是方陣 $B = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 2 & x \end{bmatrix}$ 的 $c$ 倍，即： $$A^{-1} = cB \implies \dfrac{1}{3x + 4} \begin{bmatrix} x & -2 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3c & -2c \\ 2c & cx \end{bmatrix}$$ 我們比對這兩個矩陣的所有對應元： 1. **比對右上元** (1, 2)： $$\dfrac{-2}{3x + 4} = -2c \implies c = \dfrac{1}{3x + 4}$$ 2. **比對左下元** (2, 1)： $$\dfrac{2}{3x + 4} = 2c \implies c = \dfrac{1}{3x + 4}$$ （與上式一致） 3. **比對左上元** (1, 1)： $$\dfrac{x}{3x + 4} = 3c$$ 將 $c = \dfrac{1}{3x + 4}$ 代入： $$\dfrac{x}{3x + 4} = \dfrac{3}{3x + 4}$$ 因為分母 $3x + 4 \neq 0$，我們兩邊同乘以 $3x+4$ 得： $$x = 3$$ 4. **比對右下元** (2, 2)： $$\dfrac{3}{3x + 4} = cx$$ 將 $x = 3$ 與 $c = \dfrac{1}{3x + 4}$ 代入，得 $\dfrac{3}{3x+4} = 3 \left(\dfrac{1}{3x+4}\right)$，完全契合。 最後，我們將 $x = 3$ 代入 $c$ 的表示式中，求得 $c$ 的值： $$c = \dfrac{1}{3(3) + 4} = \dfrac{1}{13}$$ 因此，數對 $(x, c) = \left(3, \dfrac{1}{13}\right)$。 答案為 $(3, \dfrac{1}{13})$。