105指考數學乙選填第10題詳解

1. 對二階方陣 $A=\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ -2 & x \end{bmatrix}$，先計算其行列式： $$\det(A) = 3\cdot x - 2\cdot(-2) = 3x+4$$ 因為 $A$ 有反方陣，所以 $\det(A)\neq 0$，即 $3x+4\neq 0$。 2. 利用二階反方陣公式： $$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\begin{bmatrix} x & -2 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} = \frac{1}{3x+4}\begin{bmatrix} x & -2 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$$ 3. 因為 $A^{-1}=cB$，即： $$\frac{1}{3x+4}\begin{bmatrix} x & -2 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3c & -2c \\ 2c & cx \end{bmatrix}$$ 比對各對應元： 比對 $(1,2)$ 元：$\frac{-2}{3x+4}=-2c$，得 $c=\frac{1}{3x+4}$。 比對 $(1,1)$ 元：$\frac{x}{3x+4}=3c$。代入 $c$ 得 $\frac{x}{3x+4}=\frac{3}{3x+4}$。因為 $3x+4\neq 0$，所以 $x=3$。 4. 將 $x=3$ 代回 $c$ 的式子： $$c = \frac{1}{3\cdot 3+4} = \frac{1}{13}$$ 故數對 $(x,c)=(3,\frac{1}{13})$。