兩年前的單價矩陣為： $$A = \begin{bmatrix} 30 & 28 \\ 55 & 50 \\ 70 & 66 \end{bmatrix}$$ 因為兩超市每年均以 $3\%$ 的比例調漲物價，所以每年的價格會乘以 $1.03$。 從兩年前調漲到現在，共調漲了兩次（兩年），所以現在的單價矩陣應為： $$P_{\text{now}} = (1.03)^2 A = 1.0609 \begin{bmatrix} 30 & 28 \\ 55 & 50 \\ 70 & 66 \end{bmatrix}$$ 我們逐一檢驗各選項的矩陣乘法運算結果： - **選項 $(1)$**：前方的係數為 $2(1.03) = 2.06 \neq (1.03)^2$，故錯誤。 - **選項 $(2)$**：矩陣運算為 $(1.03)^2 A$，即為 $P_{\text{now}}$，故正確。 - **選項 $(3)$**：左乘的對角矩陣對角元為 $2(1.03)$，相乘後相當於將 $A$ 的每一列元都乘以 $2(1.03) \neq (1.03)^2$，故錯誤。 - **選項 $(4)$**：左乘的兩個對角矩陣可以先相乘： $$\begin{bmatrix} 1.03 & 0 & 0 \\ 0 & 1.03 & 0 \\ 0 & 0 & 1.03 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1.03 & 0 & 0 \\ 0 & 1.03 & 0 \\ 0 & 0 & 1.03 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1.03)^2 & 0 & 0 \\ 0 & (1.03)^2 & 0 \\ 0 & 0 & (1.03)^2 \end{bmatrix} = (1.03)^2 I_3$$ 再乘上矩陣 $A$ 得 $(1.03)^2 I_3 A = (1.03)^2 A$，即為 $P_{\text{now}}$，故正確。 - **選項 $(5)$**：左乘的矩陣並非對角矩陣，所有元皆為 $(1.03)^2$，相乘後並不等於 $(1.03)^2 A$，故錯誤。 因此，符合條件的選項為 $(2)(4)$。