根據多項式的除法原理，設商式為 $Q(x)$，可以將 $f(x)$ 寫成： $$f(x) = Q(x)(x-1)(x-2)^2 + (x-2)^2 + g(x) \ \ \text{(式一)}$$ 其中除式 $(x-1)(x-2)^2$ 為三次式，餘式 $(x-2)^2 + g(x)$ 為二次式。已知 $g(x)$ 為一次多項式，可設為 $g(x) = ax + b$。 我們逐一檢驗各選項： - **選項 $(1)$**： 將 $x=2$ 代入（式一）： $$f(2) = Q(2) \cdot (1) \cdot 0^2 + (2-2)^2 + g(2) = g(2) \implies g(2) = f(2)$$ 將 $x=1$ 代入（式一）： $$f(1) = Q(1) \cdot 0 \cdot (-1)^2 + (1-2)^2 + g(1) = 1 + g(1) \implies g(1) = f(1) - 1$$ 因為 $g(x)$ 為一次式，已知其在兩個不同點的函數值 $g(1)$ 與 $g(2)$，即可利用兩點式唯一決定此一次函數 $g(x)$。故選項 $(1)$ 正確。 - **選項 $(2)$**： 根據餘式定理，$f(x)$ 除以 $x-2$ 的餘式為常數 $f(2)$。 由上述可知 $f(2) = g(2)$，故餘式即為 $g(2)$。故選項 $(2)$ 正確。 - **選項 $(3)$**： 根據餘式定理，$f(x)$ 除以 $x-1$ 的餘式為常數 $f(1)$。 由上述可知 $f(1) = g(1) + 1 \neq g(1)$。故選項 $(3)$ 錯誤。 - **選項 $(4)$**： 我們將（式一）提取公因式 $(x-2)^2$： $$f(x) = \left[ Q(x)(x-1) + 1 \right](x-2)^2 + g(x)$$ 由於 $g(x)$ 為一次式，其最高次數小於除式 $(x-2)^2$ 的次數（二次），故符合除法原理，其餘式即為 $g(x)$。故選項 $(4)$ 正確。 - **選項 $(5)$**： 要求 $f(x)$ 除以 $(x-1)(x-2)$ 的餘式，因為 $Q(x)(x-1)(x-2)^2$ 可被 $(x-1)(x-2)$ 整除，所以只需考慮 $(x-2)^2 + g(x)$ 除以 $(x-1)(x-2)$ 的餘式即可。 我們進行除法運算： $$(x-2)^2 + g(x) = (x^2 - 4x + 4) + g(x) = 1 \cdot (x^2 - 3x + 2) + \left( g(x) - x + 2 \right) = (x-1)(x-2) + g(x) - x + 2$$ 因為 $g(x) - x + 2$ 為一次式，其為所求餘式，此餘式不等於 $(x-2)g(x) + 2$。故選項 $(5)$ 錯誤。 綜合以上，正確的選項為 $(1)(2)(4)$。