104指考數學乙多選第6題詳解

設 $f(x) = Q(x)(x-1)(x-2)^2 + (x-2)^2 + g(x)$，其中 $g(x)$ 為一次多項式。 $(1)$ $f$(2)$ = 0 + 0 + g(2)$，$f$(1)$ = 0 + 1 + g(1)$。因為一次多項式由兩點 $(1, g$(1)$)$ 和 $(2, g$(2)$)$ 完全決定，所以知道 $f(1)$ 和 $f(2)$ 即可求出 $g(x)$，正確。 $(2)$ $f(x)$ 除以 $x-2$ 的餘式為 $f$(2)$ = g(2)$，正確。 $(3)$ $f(x)$ 除以 $x-1$ 的餘式為 $f$(1)$ = g$(1)$ + 1$，不是 $g(1)$，錯誤。 $(4)$ $f(x)$ 除以 $(x-2)^2$ 的餘式為 $(x-2)^2 + g(x)$ 對 $(x-2)^2$ 取餘。$(x-2)^2$ 已被整除，$g(x)$ 為一次式，餘式為 $g(x) = g(x) = g$(2)$ + g'$(2)$(x-2)$... 實際上 $(x-2)^2 + g(x) = (x-2)^2 + [g(x)]$，其中 $g(x)$ 的次數 $< 2$，所以除以 $(x-2)^2$ 的餘式就是 $(x-2)^2 + g(x)$。但因次數小於 $2$，$(x-2)^2$ 的部分在除以 $(x-2)^2$ 時被除盡，真正的餘式是 $g(x)$。 若 $g(x)$ 非零，則餘式次數為 $1$ 或 $0$，次數小於 $2$，正確。 $(5)$ 不一定，需看 $g(x)$ 的形式，錯誤。 因此正確選項為 $(1)$(2)$(4)$。