根據除法原理： - 多項式 $x^3 + 3x^2 + 4x + 2$ 除以 $f(x)$ 其餘式為 $3x + 2$，表示： $$(x^3 + 3x^2 + 4x + 2) - (3x + 2) = x^3 + 3x^2 + x = x(x^2 + 3x + 1)\text{ 可以被 } f(x)\text{ 整除。}$$ 由於 $f(x) = x^2 + ax + b$ 為二次且首項係數為 $1$，因此 $f(x)$ 必定為： $$f(x) = x^2 + 3x + 1$$ 這給出 $a = 3, b = 1$。 - 我們用第二個條件進行驗算： 多項式 $x^3 + x^2 - 4x + 2$ 除以 $x^2 + 3x + 1$： $$x^3 + x^2 - 4x + 2 = (x^2 + 3x + 1)(x - 2) + (x + 4)$$ 其餘式確實為 $x + 4$，符合題意。 我們來檢驗各選項： (1) 正確：$a = 3$。 (2) 錯誤：$b = 1$（非 $-1$）。 (3) 錯誤：方程式 $f(x) = x^2 + 3x + 1 = 0$ 的判別式為 $D = 3^2 - 4(1)(1) = 5 > 0$，因此有兩個相異實根。 (4) 正確：當 $x = -\frac{a}{2} = -\frac{3}{2}$ 時，二次函數 $f(x)$ 有最小值： $$f\left(-\frac{3}{2}\right) = \left(-\frac{3}{2}\right)^2 + 3\left(-\frac{3}{2}\right) + 1 = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} + 1 = -\frac{5}{4}$$ (5) 正確：根據餘式定理， $f(x)$ 除以 $(x + 3)$ 的餘式為： $$f(-3) = (-3)^2 + 3(-3) + 1 = 9 - 9 + 1 = 1$$ 故正確選項為 $(1)(4)(5)$。