97指考數學乙多選第4題詳解

根據機率的總和性質，投擲此骰子所有可能點數（$1$ 至 $6$ 點）出現的機率之和必須為 $1$。 已知出現 $2, 3, 4, 5, 6$ 點的機率皆為 $a = \log_{10} \left( \frac{3}{2} \right)$，而 $1$ 點出現的機率為 $b$，因此： $$b + 5a = 1 \implies b = 1 - 5a = 1 - 5 \log_{10} 1.5$$ 我們逐一分析各選項： (1) 正確：因為 $\frac{3}{2} > 1$，所以 $a = \log_{10} 1.5 > 0$。 (2) 錯誤：因為 $\frac{3}{2} < 10$，所以 $a = \log_{10} 1.5 < 1$。 (3) 正確：我們檢驗不等式： $$b < \frac{1}{6} \iff 1 - 5 \log_{10} 1.5 < \frac{1}{6} \iff \frac{5}{6} < 5 \log_{10} 1.5 \iff \log_{10} 1.5 > \frac{1}{6} \iff 1.5^6 > 10$$ 計算 $1.5^6 = 11.390625$。因為 $11.39 > 10$ 成立，故此選項正確。 (4) 正確：我們檢驗不等式： $$b < \log_{10} \left( \frac{4}{3} \right) \iff 1 - 5 \log_{10} \left( \frac{3}{2} \right) < \log_{10} \left( \frac{4}{3} \right)$$ $$1 < \log_{10} \left( \frac{4}{3} \right) + \log_{10} \left( \frac{3}{2} \right)^5 \iff \log_{10} 10 < \log_{10} \left( \frac{4}{3} \times \frac{243}{32} \right) \iff 10 < \frac{243}{24} = 10.125$$ 因為 $10 < 10.125$ 成立，故此選項正確。 (5) 正確：我們檢驗不等式： $$a > b \iff a > 1 - 5a \iff 6a > 1 \iff \log_{10} 1.5 > \frac{1}{6} \iff 1.5^6 > 10$$ 此與選項 (3) 的條件相同，因 $1.5^6 \approx 11.39 > 10$，故 $a > b$ 成立。 故正確選項為 $(1)(3)(4)(5)$。