已知正實數 $a$ 滿足 $a^{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$。我們可求出 $a$ 的表示式： $$a = (\sqrt{3})^{\frac{1}{\sqrt{3}}} = \left(3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{\sqrt{3}}} = 3^{\frac{1}{2\sqrt{3}}} = 3^{\frac{\sqrt{3}}{6}}$$ 接著分析各選項： (1) 錯誤：$a^3 = \left(3^{\frac{\sqrt{3}}{6}}\right)^3 = 3^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \ne 3$。 (2) 錯誤：對 $a^{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ 兩邊取以 $\sqrt{3}$ 為底的對數，得： $$\log_{\sqrt{3}}\left(a^{\sqrt{3}}\right) = \log_{\sqrt{3}}(\sqrt{3}) = 1 \implies \sqrt{3}\log_{\sqrt{3}} a = 1 \implies \log_{\sqrt{3}} a = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$$ 因此 $\log_{\sqrt{3}} a \ne \sqrt{3}$。 (3) 正確：開 $a = 3^{\frac{\sqrt{3}}{6}}$，且底數 $3 > 1$，指數 $\frac{\sqrt{3}}{6} > 0$，所以 $a > 3^0 = 1$。 (4) 錯誤：比較指數部分 $\dfrac{\sqrt{3}}{6}$ 與 $\dfrac{1}{4}$ 的大小： $$2\sqrt{3} = \sqrt{12} < \sqrt{16} = 4 \implies \dfrac{1}{2\sqrt{3}} > \dfrac{1}{4} \implies \dfrac{\sqrt{3}}{6} > \dfrac{1}{4}$$ 因為底數 $3 > 1$，所以 $a = 3^{\frac{\sqrt{3}}{6}} > 3^{\frac{1}{4}}$，故 $a < 3^{\frac{1}{4}}$ 為錯誤敘述。 故選 $(3)$。