99指考數學甲選填第8題詳解

1. 由前兩個方程式： $$\begin{cases}x+y+z=0\\x+2y+3z=0\end{cases}$$ 由第一式得 $z=-x-y$，代入第二式： $$x+2y+3(-x-y)=0\;\implies\;-2x-y=0\;\implies\; y=-2x$$ 代回 $z=-x-y=-x-(-2x)=x$。因此 $(x,y,z)=(t,-2t,t)$。 2. 將此關係代入第三式 $-2nx+ny+3z=8n$： $$-2n(t)+n(-2t)+3(t)=8n\;\implies\;-2nt-2nt+3t=8n\;\implies\;t(3-4n)=8n$$ 解得 $t=\frac{8n}{3-4n}$，即 $a_n=\frac{8n}{3-4n}$。 3. 取極限，因為 $\frac{3}{n}\to 0$，所以 $$\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}\frac{8n}{3-4n}=\lim_{n\to\infty}\frac{8}{\frac{3}{n}-4}=\frac{8}{-4}=-2$$ 故 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=-2$。