由前兩個方程式： 1) $x + y + z = 0$ 2) $x + 2y + 3z = 0$ 從 (1) 可得 $z = -x - y$，代入 (2) 得： $$x + 2y + 3(-x - y) = 0 \implies -2x - y = 0 \implies y = -2x$$ 將 $y = -2x$ 代回 $z = -x - y$ 得 $z = x$。因此，此方程組的前兩式解的關係為： $$(x, y, z) = (t, -2t, t) \ (t \in \mathbb{R})$$ 因為 $(a_n, b_n, c_n)$ 是唯一解，故 $a_n = t$。將此關係代入第三個方程式 $-2nx + ny + 3z = 8n$： $$-2n(t) + n(-2t) + 3(t) = 8n \implies -4nt + 3t = 8n \implies t(3 - 4n) = 8n$$ 解出 $t$ 得： $$a_n = t = \dfrac{8n}{3 - 4n}$$ 求 $a_n$ 當 $n \to \infty$ 時的極限值： $$\lim\limits_{n \to \infty} a_n = \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{8n}{3 - 4n} = \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{8}{\frac{3}{n} - 4} = \dfrac{8}{-4} = -2$$