設球面 $S$ 的球心為 $(x_0, y_0, z_0)$，半徑為 $R$。 當球面與水平平面 $z = c$ 相交時，交線圓的半徑 $r$ 滿足勾股定理： $$r^2 = R^2 - (c - z_0)^2$$ 相交圓面積為 $\pi r^2 = \pi [R^2 - (c - z_0)^2]$。 依題意： 1. 與平面 $z = 4$ 相交的圓面積為 $36\pi \implies R^2 - (4 - z_0)^2 = 36$。 2. 與平面 $z = 8$ 相交的圓面積為 $36\pi \implies R^2 - (8 - z_0)^2 = 36$。 由兩相交圓面積相等，可得： $$(4 - z_0)^2 = (8 - z_0)^2$$ 因為 $z_0$ 必定介於 $z=4$ 與 $z=8$ 的中點，故： $$z_0 = \dfrac{4 + 8}{2} = 6$$ 將 $z_0 = 6$ 代回其中一式，求得半徑平方 $R^2$： $$R^2 - (4 - 6)^2 = 36 \implies R^2 - 4 = 36 \implies R^2 = 40$$ 現在，我們計算球面 $S$ 與平面 $z = 7$ 相交之圓半徑平方 $r_7^2$： $$r_7^2 = R^2 - (7 - z_0)^2 = 40 - (7 - 6)^2 = 40 - 1 = 39$$ 因此，與平面 $z = 7$ 相交的圓面積為 $\pi r_7^2 = 39\pi$。 故空格填 $39$。