設三次實係數多項式函數為： $$p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$$ 其導函數為： $$p'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$$ 依題意可列出下列四個方程式： 1. 圖形通過 $(1, 3) \implies p(1) = a + b + c + d = 3$ 2. 圖形通過 $(-1, 5) \implies p(-1) = -a + b - c + d = 5$ 3. 在 $x=1$ 處的切線斜率為 $7 \implies p'(1) = 3a + 2b + c = 7$ 4. 在 $x=-1$ 處的切線斜率為 $-5 \implies p'(-1) = 3a - 2b + c = -5$ 我們解此聯立方程式： - 將式 (3) 減去式 (4)： $$(3a + 2b + c) - (3a - 2b + c) = 7 - (-5) \implies 4b = 12 \implies b = 3$$ - 將式 (1) 加上式 (2)： $$(a + b + c + d) + (-a + b - c + d) = 3 + 5 \implies 2b + 2d = 8 \implies b + d = 4$$ 將 $b = 3$ 代入得： $3 + d = 4 \implies d = 1$。 - 將 $b = 3, d = 1$ 代回式 (1) 與式 (3)： - 由式 (1)： $a + 3 + c + 1 = 3 \implies a + c = -1$ - 由式 (3)： $3a + 2(3) + c = 7 \implies 3a + c = 1$ - 聯立求解 $a, c$： 將 $(3a + c) - (a + c) = 1 - (-1) \implies 2a = 2 \implies a = 1$。 代回 $a + c = -1 \implies 1 + c = -1 \implies c = -2$。 綜上所述，多項式係數為 $a=1, b=3, c=-2, d=1$。 故所求多項式為 $p(x) = x^3 + 3x^2 - 2x + 1$。