這是一個平面與球面相交求截圓面積的問題： 1. **將球面方程式進行配方**以求出球心與半徑： $$x^2 + y^2 + z^2 + 2x - 4y - 11 = 0 \implies (x^2 + 2x + 1) + (y^2 - 4y + 4) + z^2 = 11 + 1 + 4$$ $$(x+1)^2 + (y-2)^2 + z^2 = 16$$ 得球心為 $C(-1, 2, 0)$，球半徑 $R = 4$。 2. **計算球心 $C$ 到平面 $E: x + 3y + z - 1 = 0$ 的距離 $d$**： $$d = \dfrac{|-1 + 3(2) + 0 - 1|}{\sqrt{1^2 + 3^2 + 1^2}} = \dfrac{|-1 + 6 - 1|}{\sqrt{1 + 9 + 1}} = \dfrac{4}{\sqrt{11}}$$ 3. **利用畢氏定理求截圓的半徑 $r$**： 由空間幾何幾何關係，球半徑 $R$、球心到平面的距離 $d$ 與截圓半徑 $r$ 構成直角三角形： $$r^2 = R^2 - d^2 = 4^2 - \left(\dfrac{4}{\sqrt{11}}\right)^2 = 16 - \dfrac{16}{11} = \dfrac{176 - 16}{11} = \dfrac{160}{11}$$ 4. **計算截圓面積**： $$\text{面積} = \pi r^2 = \dfrac{160}{11}\pi$$ 因此，相交成圓的面積為 $\dfrac{160}{11}\pi$。