83學測數學選填第16題詳解

因為球面方程式可配方為 $$(x+1)^2+(y-2)^2+z^2=16,$$ 所以球心 $C(-1,2,0)$、球半徑 $R=4$。 平面為 $x+3y+z-1=0$，球心到平面的距離為 $$d=\frac{|-1+3\cdot2+0-1|}{\sqrt{1^2+3^2+1^2}}=\frac{4}{\sqrt{11}}.$$ 截圓半徑 $r$ 滿足 $r^2=R^2-d^2$，因此 $$r^2=16-\frac{16}{11}=\frac{160}{11}.$$ 所以截圓面積為 $$\pi r^2=\frac{160}{11}\pi.$$ 故答案為 $\frac{160}{11}\pi$。