84學測數學單選第4題詳解

首先，將球的方程式進行配方以求出球心坐標： $$x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y + 2z - 19 = 0 \implies (x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z + 1)^2 = 25$$ 由此可知，球心坐標為 $C(1, -2, -1)$，球半徑為 $R = 5$。 平面與球相交所成的圓面積若要最大，代表該平面與球心的距離 $d$ 必須最小（即 $d = 0$，表示平面通過球心 $C$）。 我們將球心 $C(1, -2, -1)$ 的坐標分別代入各選項平面方程式以進行檢驗： - (A) $x + y + z = 1 + (-2) + (-1) = -2 \neq 0$ - (B) $z = -1 \implies -1 = -1$（符合，平面通過球心 $C$，距離 $d=0$） - (C) $y = 1 \implies -2 \neq 1$ - (D) $x = 2 \implies 1 \neq 2$ - (E) $x = 2y \implies 1 \neq 2(-2) = -4$ 因此，僅有平面 $z = -1$ 通過球心，其與球相交所得的截圓面積最大（為大圓）。故選 $(2)$。