對方程式 $2^x = 5^y$ 兩邊取常用對數： $$\log(2^x) = \log(5^y) \implies x \log 2 = y \log 5 \implies y = \left(\dfrac{\log 2}{\log 5}\right) x$$ 此在坐標平面上表示一條通過原點且斜率為正的直線。 各選項分析如下： (1) 代入 $(0,0)$ 滿足 $0 = 0$，故 $(0,0)$ 為可能之 $P$ 點，此敘述正確。 (2) 代入 $x = \log 5$，$y = \log 2$ 得 $\log 5 \log 2 = \log 2 \log 5$ 恆成立，故 $(\log 5, \log 2)$ 為可能之 $P$ 點，此敘述正確。 (3) 因為斜率 $\dfrac{\log 2}{\log 5} > 0$，所以 $x$ 與 $y$ 必同號（皆為正或皆為負）或同為 $0$，故 $xy \ge 0$，此敘述正確。 (4) 所有可能點 $P(x,y)$ 構成的圖形為直線 $y = \left(\dfrac{\log 2}{\log 5}\right) x$，此敘述正確。 (5) 設 $x, y$ 同時為正整數。由於 $2$ 與 $5$ 互質，根據算術基本定理，$2^x$ 的質因數只有 $2$（必為偶數），而 $5^y$ 的質因數只有 $5$（必為奇數），兩者不可能相等。因此點 $P$ 的 $x, y$ 坐標不可能同時為正整數，此敘述錯誤。 故選 $(5)$。