100指考數學甲單選第1題詳解

對方程式 $2^x = 5^y$ 兩邊取常用對數： $$\log(2^x) = \log(5^y) \implies x \log 2 = y \log 5 \implies y = \left(\frac{\log 2}{\log 5}\right) x$$ 此在坐標平面上表示一條通過原點且斜率為正的直線。 各選項分析如下： $(1)$ 代入 $(0,0)$ 滿足 $0 = 0$，故 $(0,0)$ 為可能之 $P$ 點，此敘述正確。 $(2)$ 代入 $x = \log 5$，$y = \log 2$ 得 $\log 5 \log 2 = \log 2 \log 5$ 恆成立，故 $(\log 5, \log 2)$ 為可能之 $P$ 點，此敘述正確。 $(3)$ 因為斜率 $\frac{\log 2}{\log 5} > 0$，所以 $x$ 與 $y$ 必同號（皆為正或皆為負）或同為 $0$，故 $xy \ge 0$，此敘述正確。 $(4)$ 所有可能點 $P(x,y)$ 構成的圖形為直線 $y = \left(\frac{\log 2}{\log 5}\right) x$，此敘述正確。 $(5)$ $x, y$ 坐標可以同時為正整數。若 $y = \frac{\log 2}{\log 5} x$ 且 $x$ 為正整數，因為 $\frac{\log 2}{\log 5}$ 為無理數，所以 $y$ 不可能為整數。$(5)$ 錯誤。 故選 $(5)$。