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97學測數學多選第9題詳解

📅 97 年 📝 學測數學 第 9 題 題型：多選 課綱：99課綱

答案與本題考點

答案：$(2)(5)$

本題考點：對數、指數與對數、公式代入

題目

已知在一容器中有 $A,B$ 兩種菌，且在任何時刻 $A,B$ 兩種菌的個數乘積為定值 $10^{10}$。為了簡單起見，科學家用 $P_A = \log(n_A)$ 來記錄 $A$ 菌個數的資料，其中 $n_A$ 為 $A$ 菌的個數。試問下列哪些選項是正確的？
  1. $1 \le P_A \le 10$
  2. 當 $P_A = 5$ 時，$B$ 菌的個數與 $A$ 菌的個數相同
  3. 如果上週一測得 $P_A$ 值為 $4$ 而上週五測得 $P_A$ 值為 $8$，表示上週五 $A$ 菌的個數是上週一 $A$ 菌個數的 $2$ 倍
  4. 若今天的 $P_A$ 值比昨天增加 $1$，則今天的 $A$ 菌比昨天多了 $10$ 個
  5. 假設科學家將 $B$ 菌的個數控制為 $5$ 萬個，則此時 $5 < P_A < 5.5$
對數指數與對數
解題手法公式代入〔AI 推測〕

答案

答案

$(2)(5)$

詳解

詳解
$n_A\times n_B=10^{10}$，$P_A=\log n_A$（常用對數）。 選項 $(1)$：$n_A=1$ 時 $P_A=\log 1=0<1$。$(1)$ 錯誤。 選項 $(2)$：$P_A=5$ 時 $n_A=10^5$。因為 $n_A n_B=10^{10}$，所以 $n_B=10^5$，$n_A=n_B$。正確。 選項 $(3)$：$n_A$ 從 $10^4$ 增為 $10^8$，$P_A$ 從 $4$ 增為 $8$，增加了 $4$，而非 $4$ 倍。錯誤。 選項 $(4)$：$P_A$ 和 $P_B$ 滿足 $P_A+P_B=\log(n_A n_B)=\log 10^{10}=10$，非 $P_A-P_B=10$。錯誤。 選項 $(5)$：由 $n_A n_B=10^{10}$，$P_A+P_B=10$。$(P_A,P_B)$ 的圖形為一直線。正確。 故選 $(2)(5)$。

題目來源：民國97年學測數學 第9題（來源PDF第4頁）

資料版本：2026-07-21（commit bde62541）

校對狀態：人工抽查——本卷試題經人工抽樣檢查；非逐題逐字校對。

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引用本站：大考雷達站，〈97學測數學多選第9題詳解〉，資料版本 2026-07-21，https://twmath.com/questions/097_02M_q09.html

解析狀態：本解析由 AI 輔助產出，未經人工審核，非官方詳解，僅供學習參考。如與官方公告不同，請以官方公告為準。