先因式分解 $g(x)$： $$g(x) = x^3 + x^2 - 2 = (x - 1)(x^2 + 2x + 2)$$對於二次因式 $x^2 + 2x + 2$，其判別式為 $2^2 - 4 \times 1 \times 2 = -4 < 0$，故此部分無實根。 因此 $g(x) = 0$ 的根為一個實根 $x = 1$，以及一對共軛複數根。 (1) 正確：$g(x) = 0$ 恰有一實根 $x = 1$。 (2) 錯誤：若公因式為二次因式 $x^2 + 2x + 2$，且 $f(x) = x^2 + 2x + 2$，則 $f(x) = 0$ 無實根。 (3) 正確：若有共同實根，由於 $g(x) = 0$ 唯一的實根為 $1$，因此共同實根必為 $1$。 (4) 錯誤：若 $f(x)$ 與 $g(x)$ 有共同實根，公因式可能是一次因式 $x - 1$，也可能是整個三次多項式本身，因此不一定是一次式。 (5) 正確：若沒有共同實根，則公因式不能包含 $x - 1$。又因為公因式次數大於 $0$，且 $g(x) = (x-1)(x^2+2x+2)$，因此公因式只能是二次式 $x^2 + 2x + 2$，故最高公因式必為二次式。 故選 $(1)(3)(5)$。