我們逐一分析各個方程式是否存在實數解： $(1)$ 令 $f(x) = x^3 + x - 1$。由於 $f(0) = -1 < 0$ 且 $f(1) = 1 > 0$。 因為 $f(x)$ 為連續的多項式函數，根據勘根定理，在區間 $(0,1)$ 內至少有一個實根，故選項 $(1)$ 正確。 $(2)$ 對於任意實數 $x$，指數函數 $2^x > 0$ 且 $2^{-x} > 0$。 因此其和 $2^x + 2^{-x}$ 必定大於 $0$（更具體地，由算幾不等式可知 $2^x + 2^{-x} \ge 2\sqrt{2^x \cdot 2^{-x}} = 2$），不可能為 $0$，故選項 $(2)$ 錯誤。 $(3)$ 設 $u = \log_2 x$，則方程式可寫為： $$u + \dfrac{1}{u} = 1 \implies u^2 - u + 1 = 0$$ 其判別式為 $\Delta = (-1)^2 - 4(1)(1) = -3 < 0$，表示此二次方程沒有實數解 $u$，故原方程無實數解 $x$，選項 $(3)$ 錯誤。 $(4)$ 因為對任意實數 $x$ 均有 $\sin x \le 1$ 且 $\cos 2x \le 1$。 所以其和的極大值為 $\sin x + \cos 2x \le 1 + 1 = 2 < 3$，故不可能等於 $3$，選項 $(4)$ 錯誤。 $(5)$ 根據三角函數疊合公式，我們有： $$-\sqrt{4^2 + 3^2} \le 4\sin x + 3\cos x \le \sqrt{4^2 + 3^2} \implies -5 \le 4\sin x + 3\cos x \le 5$$ 因為值域範圍是 $[-5, 5]$，而 $\dfrac{9}{2} = 4.5$ 恰好在該範圍內，因此方程式必有實數解，選項 $(5)$ 正確。 綜上所述，正確的選項為 $(1)(5)$。