99學測數學多選第8題詳解

已知 $|\cos\theta_1|=|\cos\theta_2|=|\cos\theta_3|=|\cos\theta_4|=\frac{1}{3}$，且 $\theta_1$ 在第一象限、$\theta_2$ 在第二象限、$\theta_3$ 在第三象限、$\theta_4$ 在第四象限。因此： - $\cos\theta_1=\frac{1}{3}$，$\sin\theta_1>0$； - $\cos\theta_2=-\frac{1}{3}$，$\sin\theta_2>0$； - $\cos\theta_3=-\frac{1}{3}$，$\sin\theta_3<0$； - $\cos\theta_4=\frac{1}{3}$，$\sin\theta_4<0$。 逐一檢查： 選項 $(1)$：因為 $\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0.707>\frac{1}{3}=\cos\theta_1$，且 $\cos x$ 在區間 $[0,\pi]$ 上遞減，所以 $\theta_1>\frac{\pi}{4}$。$(1)$ 錯誤。 選項 $(2)$：$\cos\theta_2=-\frac{1}{3}=-\cos\theta_1=\cos(\pi-\theta_1)$。因為 $\theta_2$ 與 $\pi-\theta_1$ 皆在第二象限（$\theta_1<\frac{\pi}{2}$ 故 $\pi-\theta_1>\frac{\pi}{2}$），所以 $\theta_2=\pi-\theta_1$，即 $\theta_1+\theta_2=\pi$。$(2)$ 正確。 選項 $(3)$：$\theta_3$ 在第三象限，$\cos$ 為負。因為 $|\cos\theta_3|=\frac{1}{3}$，所以 $\cos\theta_3=-\frac{1}{3}$。$(3)$ 正確。 選項 $(4)$：$\sin\theta_4=-\sqrt{1-\cos^2\theta_4}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$。$\tan\theta_4=\frac{\sin\theta_4}{\cos\theta_4}=-2\sqrt{2}\neq 2\sqrt{2}$。$(4)$ 錯誤。 選項 $(5)$：因為 $\theta_4=2\pi-\theta_1$，$\theta_3=\pi+\theta_1$，所以 $\theta_4-\theta_3=\pi-2\theta_1$。因為 $\theta_1\neq\frac{\pi}{4}$，所以 $\theta_4-\theta_3\neq\frac{\pi}{2}$。$(5)$ 錯誤。 故選 $(2)(3)$。