84學測數學多選第9題詳解

我們來分析 $\cos 74^\circ - \cos 14^\circ$ 的各種化簡與變形： 1. 利用餘角公式與誘導公式： 我們知道 $\cos \theta = \sin(90^\circ - \theta)$，因此： $$\cos 74^\circ = \sin 16^\circ \ \ \text{且} \ \ \cos 14^\circ = \sin 76^\circ$$ 代入原式得： $$\cos 74^\circ - \cos 14^\circ = \sin 16^\circ - \sin 76^\circ$$ 因此，選項 $(4)$ 是正確的。 2. 利用正弦與餘弦的補角關係： - $\sin 164^\circ = \sin(180^\circ - 16^\circ) = \sin 16^\circ$ - $\cos 166^\circ = -\cos(180^\circ - 166^\circ) = -\cos 14^\circ$ 因此，我們有： $$\sin 164^\circ + \cos 166^\circ = \sin 16^\circ - \cos 14^\circ = \sin 16^\circ - \sin 76^\circ$$ 這與原式完全相等。因此，選項 $(5)$ 是正確的。 3. 利用和差化積公式： $$\cos A - \cos B = -2 \sin\left(\dfrac{A+B}{2}\right) \sin\left(\dfrac{A-B}{2}\right)$$ 將 $A = 74^\circ$ 與 $B = 14^\circ$ 代入： $$\cos 74^\circ - \cos 14^\circ = -2 \sin 44^\circ \sin 30^\circ$$ 由於選項 $(2)$ 的數值為 $2 \sin 30^\circ \sin 44^\circ = \sin 44^\circ > 0$，而原式為負數，兩者不符。選項 $(1), (2), (3)$ 均不成立。 綜上所述，正確選項為 $(4)(5)$。