84學測數學多選第8題詳解

在坐標平面上，若兩個函數 $y = f(x)$ 與 $y = g(x)$ 的圖形對稱於 $y$ 軸，則必須滿足關係式： $$g(x) = f(-x)$$ 亦即將其中一個函數自變數 $x$ 替換為 $-x$ 後，能得到另一個函數。 我們逐一分析各選項的對稱關係： - $(1)$ 設 $f(x) = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{3x} = 2^{-3x}$，將 $x$ 替換為 $-x$ 得到： $$f(-x) = 2^{-3(-x)} = 2^{3x}$$ 這正好是另一個函數。因此，這兩個函數的圖形互相對稱於 $y$ 軸。此選項正確。 - $(2)$ 將 $y = 2^{3x}$ 中的 $x$ 替換為 $-x$ 得到 $y = 2^{-3x} \neq 3^{2x}$。此選項錯誤。 - $(3)$ 設 $f(x) = x^2$，替換後得 $f(-x) = (-x)^2 = x^2 \neq -x^2$。事實上，$y = x^2$ 與 $y = -x^2$ 對稱於 $x$ 軸。此選項錯誤。 - $(4)$ 設 $f(x) = \log x$（定義域為 $x > 0$），將 $x$ 替換為 $-x$ 得到： $$f(-x) = \log(-x) \ \ (\text{定義域為 } x < 0)$$ 這兩個對數函數在各自定義域內的圖形恰好對稱於 $y$ 軸。此選項正確。 - $(5)$ 利用三角函數的誘導公式，我們有： $$\sin\left(x - \dfrac{\pi}{2}\right) = -\sin\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = -\cos x$$ 函數 $y = \cos x$ 與 $y = -\cos x$ 對稱於 $x$ 軸，而非對稱於 $y$ 軸。此選項錯誤。 綜上所述，正確選項為 $(1)(4)$。