根據題意，二次函數 $y = mx^2 + 10x + m + 6$ 的圖形必須完全在直線 $y = 2$ 的上方。這表示對任意實數 $x$，不等式： $$mx^2 + 10x + m + 6 > 2 \implies mx^2 + 10x + m + 4 > 0$$ 必須恆成立。一個二次式恆大於 $0$ 需同時滿足以下兩個條件： 1. **二次項係數為正**： $$m > 0$$ 2. **判別式小於 $0$**（即拋物線與 $X$ 軸無交點）： $$\Delta = 10^2 - 4 \times m \times (m + 4) < 0 \implies 100 - 4m^2 - 16m < 0$$ 同除以 $4$ 並調整不等式方向： $$m^2 + 4m - 25 > 0$$ 方程式 $m^2 + 4m - 25 = 0$ 的兩根為 $m = -2 \pm \sqrt{29}$。 因此，不等式 $m^2 + 4m - 25 > 0$ 的解為： $$m > -2 + \sqrt{29} \ \ \text{或} \ \ m < -2 - \sqrt{29}$$ 綜合條件 $1$ 與條件 $2$： 由於 $\sqrt{29} \approx 5.385$，因此 $-2 - \sqrt{29} < 0$，而 $-2 + \sqrt{29} > 0$。 為了滿足 $m > 0$，我們取交集得到： $$m > -2 + \sqrt{29}$$ 故選 $(2)$。