083_02M_q08
83 學測數學 第 8 題
📅 83 年 📝 學測數學 第 8 題 題型:多選 課綱:99課綱
若函數 $f(x) = ax^2 + bx + c$ 的圖形如圖 3 ,則下列各數那些為負數?
圖 3
圖 3
  1. $a$
  2. $b$
  3. $c$
  4. $b^2 - 4ac$
  5. $a - b + c$
二次函數與方程式坐標幾何多項式函數與運算
解題手法數形結合〔AI 推測〕
答案

$(3)(5)$

多選題

詳解
觀察圖 3 的拋物線圖形: 1. **分析 $a$**: 拋物線開口向上,因此二次項係數必為正數,即 $a > 0$。 2. **分析 $b^2 - 4ac$**: 圖形與 $x$ 軸相交於 $(-2, 0)$ 和 $\left(\dfrac{1}{2}, 0\right)$ 兩個相異點,因此判別式必為正數,即 $b^2 - 4ac > 0$。 3. **分析 $b$**: 由與 $x$ 軸的兩個交點,可知拋物線的對稱軸為: $$x = \dfrac{-2 + 1/2}{2} = -\dfrac{3}{4}$$ 因為對稱軸公式為 $x = -\dfrac{b}{2a}$,所以 $-\dfrac{b}{2a} < 0$。 已知 $a > 0$,所以 $b > 0$。 4. **分析 $c$**: 圖形與 $y$ 軸的交點坐標為 $(0, f(0)) = (0, c)$。 觀察圖形可知,在 $x = 0$ 處(介於交點 $-2$ 與 $\dfrac{1}{2}$ 之間),圖形位於 $x$ 軸下方。 因此,有: $$c < 0 \ \ (\text{為負數})$$ 5. **分析 $a - b + c$**: 若將 $x = -1$ 代入函數中,得到的值為 $f(-1) = a - b + c$。 因為 $-1$ 介於 $-2$ 與 $\dfrac{1}{2}$ 之間,此區間內所有點的函數值均小於 $0$。 因此,有: $$a - b + c < 0 \ \ (\text{為負數})$$ 綜上所述,數值為負數的選項有 $c$ 以及 $a - b + c$。故選 $(3)(5)$。

題目來源:大學入學考試中心公開試題。

解析狀態:本解析由 AI 輔助產出,未經人工審核,非官方詳解,僅供學習參考。如與官方公告不同,請以官方公告為準。