$(1)$ 正確：因二次函數圖形通過 $(0, -1)$ 且與 $x$ 軸相切，其開口只能朝下，所以 $a < 0$。 $(2)$ 錯誤：頂點的 $x$ 坐標 $x = -\dfrac{b}{2a}$ 位置無法判斷，故 $b$ 的正負未知。 $(3)$ 正確：二次函數圖形通過 $(0, -1)$，得 $f(0) = c = -1$。 $(4)$ 錯誤：圖形與 $x$ 軸相切，即重根，其判別式 $\Delta = b^2 - 4ac = 0$。 $(5)$ 正確：對任意實數 $x$，其函數值 $f(x) \le 0$，故當 $x=1$ 時，$f(1) = a + b + c \le 0$。 故正確選項為 $(1)(3)(5)$。