我們來深入探討此等軸雙曲線 $\Gamma$ 的幾何特徵與方程式： 1. **關於漸近線**： - 等軸雙曲線的定義即為其兩條漸近線互相垂直。因此選項 $(1)$ 正確。 - 雙曲線的中心為 $C(1, 1)$。已知一條漸近線為 $L_1: x - y = 0$（斜率為 $1$，且通過點 $(1, 1)$）。 - 因為兩漸近線垂直，另一條漸近線 $L_2$ 的斜率必為 $-1$，且必通過中心 $(1, 1)$。使用點斜式： $$y - 1 = -1(x - 1) \implies x + y - 2 = 0$$ 因此，另一條漸近線為 $x + y - 2 = 0$，選項 $(2)$ 錯誤。 2. **關於雙曲線方程式與貫軸**： - 設雙曲線方程式為： $$(x - y)(x + y - 2) = k$$ 將點 $(3, 0)$ 代入此方程式求 $k$： $$(3 - 0)(3 + 0 - 2) = 3 \times 1 = 3 \implies k = 3$$ 方程式為 $(x - y)(x + y - 2) = 3$。我們將其坐標平移（中心移至原點，令 $X = x-1$, $Y = y-1$）： $$(X - Y)(X + Y) = 3 \implies X^2 - Y^2 = 3 \implies (x - 1)^2 - (y - 1)^2 = 3$$ - 這是一個開口向左右的雙曲線，其對稱軸（包含實軸與貫軸）為水平線 $y = 1$。因此選項 $(3)$ 正確。 3. **關於頂點與焦點**： - 雙曲線的頂點與焦點皆位於實軸（貫軸）之上。因為實軸為直線 $y = 1$，所有在實軸上的點，其 $Y$ 坐標皆必須為 $1$。 - 選項 $(4)$ 給出的頂點坐標為 $(1, \sqrt{3} - 1)$，其 $Y$ 坐標不為 $1$（它其實在共軛軸 $x = 1$ 上），故錯誤。 - 選項 $(5)$ 給出的焦點坐標為 $(1, \sqrt{6} - 1)$，同樣不在實軸上，故錯誤。 綜上所述，正確選項為 $(1)(3)$。