84學測數學多選第11題詳解

設正四面體 $ABCD$ 的邊長為 $1$： - $(1)$ 由於面 $ACD$ 與面 $BCD$ 均為正三角形，且 $M$ 為邊 $CD$ 的中點。根據正三角形性質，中線必垂直底邊，故有： $$\overline{AM} \perp \overline{CD} \ \ \text{且} \ \ \overline{BM} \perp \overline{CD}$$ 因為直線 $CD$ 垂直於平面 $ABM$ 上的兩條相交直線 $AM$ 與 $BM$，所以直線 $CD$ 垂直於整個平面 $ABM$。此選項正確。 - $(2)$ 因為直線 $CD$ 垂直於平面 $ABM$，而線段 $AB$ 落在平面 $ABM$ 上。根據線面垂直定義，空間中直線 $CD$ 必定垂直於平面 $ABM$ 上的任意直線，因此向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{AB} \perp \overset{\large\rightharpoonup}{CD}$。此選項正確。 - $(3)$ 考慮兩個等腰三角形： - 在 $\Delta ADB$ 中，兩腰長為 $\overline{AD} = \overline{BD} = 1$，底邊 $\overline{AB} = 1$。 - 在 $\Delta AMB$ 中，兩腰長為 $\overline{AM} = \overline{BM} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$，底邊 $\overline{AB} = 1$。 根據三角形餘弦定理，在底邊相同的情況下，兩腰邊長越短，其夾角越大。因為 $\dfrac{\sqrt{3}}{2} < 1$，故： $$\angle AMB > \angle ADB$$ 此選項正確。 - $(4)$ 平面 $ACD$ 與平面 $BCD$ 的二面角即為 $\angle AMB$。我們使用餘弦定理計算： $$\cos\angle AMB = \dfrac{\overline{AM}^2 + \overline{BM}^2 - \overline{AB}^2}{2 \overline{AM} \cdot \overline{BM}} = \dfrac{\dfrac{3}{4} + \dfrac{3}{4} - 1}{2 \times \dfrac{3}{4}} = \dfrac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{3}{2}} = \dfrac{1}{3}$$ 因為 $\cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}$，且當 $\theta \in [0^\circ, 90^\circ]$ 時，$\cos\theta$ 為遞減函數。由 $\cos\angle AMB = \dfrac{1}{3} < \dfrac{1}{2}$，可得 $\angle AMB > 60^\circ$。此選項正確。 - $(5)$ 線段長度 $\overline{BA} = 1$，而 $\overline{BM} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$，兩者不相等。此選項錯誤。 綜上所述，正確選項為 $(1)(2)(3)(4)$。