三個半徑為 $1$ 的球置於 $xy$ 平面上且兩兩相切： (1) 因為三球的半徑皆為 $1$ 且置於 $xy$ 平面上，故三球心的 $z$ 坐標皆為 $1$。即點 $A$、$B$、$C$ 所在的平面方程式為 $z=1$，此平面與 $xy$ 平面 ($z=0$) 平行，此選項正確。 (2) 因為三球兩兩外切，其球心距離為兩半徑之和： $$AB = BC = CA = 1 + 1 = 2$$ 因此，三角形 $ABC$ 是一個邊長為 $2$ 的正三角形，此選項正確。 (3) 第四個半徑為 $1$ 的球置於上方且與下方的三球皆外切，故其球心 $P$ 到 $A$、$B$、$C$ 的距離皆為： $$PA = PB = PC = 1 + 1 = 2$$ 因為 $AB = 2$，所以三角形 $PAB$ 的三邊長皆為 $2$，是一個邊長為 $2$ 的正三角形，沒有長度為 $\sqrt{2}$ 的邊，此選項錯誤。 (4) 三角形 $PAB$ 為邊長為 $2$ 的正三角形，點 $P$ 到直線 $AB$ 的距離即為此三角形以 $AB$ 為底的高： $$h = 2 \times \sin 60^\circ = 2 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$$ 此選項正確。 (5) 球心 $A, B, C, P$ 構成一個棱長為 $2$ 的正四面體。 此正四面體以 $ABC$ 為底面時，頂點 $P$ 到平面 $ABC$ 的高 $H$ 為： $$H = 2 \times \sqrt{\dfrac{2}{3}} = \sqrt{\dfrac{8}{3}} = \dfrac{2\sqrt{6}}{3}$$ 因為底面 $ABC$ 所在的平面為 $z=1$，且 $P$ 在 $ABC$ 平面的上方，故 $P$ 到 $xy$ 平面 ($z=0$) 的距離為： $$d = 1 + H = 1 + \sqrt{\dfrac{8}{3}} = 1 + \dfrac{2\sqrt{6}}{3}$$ 此選項錯誤。 故正確選項為 $(1)(2)(4)$。