設 $O(0,0,0)$ 為坐標空間中某長方體的一個頂點，且知 $(2,2,1), (2,-1,-2), (3,-6,6)$ 為此長方體中與 $O$ 相鄰的三頂點。若平面 $E : x + by + cz = d$ 將此長方體截成兩部分，其中包含頂點 $O$ 的那一部分是個正立方體，則 $(b,c,d) = ($ ____ , ____ , ____ $)$。
詳解
設與 $O$ 相鄰的三個向量分別為：
$$\overset{\large\rightharpoonup}{v_1} = (2, 2, 1), \ \overline{v_1} = 3$$
$$\overset{\large\rightharpoonup}{v_2} = (2, -1, -2), \ \overline{v_2} = 3$$
$$\overset{\large\rightharpoonup}{v_3} = (3, -6, 6), \ \overline{v_3} = 9$$
這三個向量互相垂直，構成一個 $3 \times 3 \times 9$ 的長方體。
欲截出包含 $O$ 的正立方體（邊長為 $3$），其平面 $E$ 必須垂直第三條稜線 $\overset{\large\rightharpoonup}{v_3}$，且距離 $O$ 為 $3$。
因此，平面 $E$ 的法向量平行於 $\overset{\large\rightharpoonup}{v_3} = (3, -6, 6) \parallel (1, -2, 2)$。
設平面 $E$ 方程式為：
$$x - 2y + 2z = d$$平面通過點 $P_3 = \frac{1}{3}\overset{\large\rightharpoonup}{v_3} = (1, -2, 2)$，代入得：
$$1 - 2(-2) + 2(2) = 9 \implies d = 9$$故平面為 $x - 2y + 2z = 9$，對照 $x + by + cz = d$ 可得：
$$(b, c, d) = (-2, 2, 9)$$