直線 $L$ 的方向向量為 $\overset{\large\rightharpoonup}{d} = (3, -1, 2)$，且通過點 $P(2, -1, 1)$。 若一平面與直線 $L$ 平行，則平面的法向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{n} = (A, B, C)$ 必與直線的方向向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{d}$ 垂直（即 $\overset{\large\rightharpoonup}{n} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{d} = 3A - B + 2C = 0$），且點 $P$ 不在該平面上。 我們逐一檢驗各選項平面的法向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{n}$ 與直線方向向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{d}$ 的內積： - (1) $\overset{\large\rightharpoonup}{n}_1 = (2, -1, 1) \implies \overset{\large\rightharpoonup}{n}_1 \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{d} = 2(3) - 1(-1) + 1(2) = 9 \neq 0$ - (2) $\overset{\large\rightharpoonup}{n}_2 = (1, 1, -1) \implies \overset{\large\rightharpoonup}{n}_2 \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{d} = 1(3) + 1(-1) - 1(2) = 0$ 將點 $P(2, -1, 1)$ 代入此平面方程式： $$2 + (-1) - 1 = 0 \neq 2$$ 此點不在該平面上。因此平面 $x + y - z = 2$ 與直線 $L$ 平行。 - (3) $\overset{\large\rightharpoonup}{n}_3 = (3, -1, 2) \implies \overset{\large\rightharpoonup}{n}_3 \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{d} = 3(3) - 1(-1) + 2(2) = 14 \neq 0$ - (4) $\overset{\large\rightharpoonup}{n}_4 = (3, 2, 1) \implies \overset{\large\rightharpoonup}{n}_4 \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{d} = 3(3) + 2(-1) + 1(2) = 9 \neq 0$ - (5) $\overset{\large\rightharpoonup}{n}_5 = (1, -3, 1) \implies \overset{\large\rightharpoonup}{n}_5 \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{d} = 1(3) - 3(-1) + 1(2) = 8 \neq 0$ 綜合上述，僅有平面 (2) 與直線 $L$ 平行。故選 $(2)$。