83 學測數學第 1 題

Question

設 $a = \sqrt{7 + \sqrt{47}}$，則 $a$ 在那兩個連續整數之間？

Accepted Answer

答案：$(4)$
我們來估算 $a = \sqrt{7 + \sqrt{47}}$ 的數值範圍：
因為 $36 < 47 < 49$，所以取平方根可得：
$$6 < \sqrt{47} < 7$$
各項加上 $7$：
$$13 < 7 + \sqrt{47} < 14$$
再取平方根，可得：
$$\sqrt{13} < \sqrt{7 + \sqrt{47}} < \sqrt{14}$$
由於 $3^2 = 9$ 且 $4^2 = 16$，可推知：
$$3 < \sqrt{13} < a < \sqrt{14} < 4$$
因此，常數 $a$ 介於 $3$ 與 $4$ 之間。故選 $(4)$。