97學測數學選填第16題詳解

雙曲線 $\Gamma:\frac{x^2}{8}-y^2=1$。$a^2=8$，$b^2=1$，$c=\sqrt{a^2+b^2}=3$。焦點 $F_1(-3,0)$，$F_2(3,0)$。 1. 由雙曲線光學性質：雙曲線在 $P$ 處的切線即為 $\angle F_1PF_2$ 的內角平分線。 2. $P(-4,1)$ 處的切線方程式（對 $\frac{x^2}{8}-y^2=1$ 微分或代入切線公式）： \begin{aligned} \frac{-4x}{8}-1\cdot y&=1\\[4pt] -\frac{x}{2}-y&=1 \end{aligned} 3. 因為切線 $x+2y=-2$ 與 $x$ 軸的交點（令 $y=0$）為 $x=-2$，所以 $x$ 截距為 $-2$。