98 學測數學第 19 題

Question

有一橢圓與一雙曲線有共同的焦點 $F_1,F_2$，且雙曲線的貫軸長和橢圓的短軸長相等。設 $P$ 為此橢圓與雙曲線的一個交點，且 $\overline{PF_1}	imes\overline{PF_2}=64$，則 $\overline{F_1F_2}=$ ____。

Accepted Answer

答案：$16$
設橢圓半長軸、半短軸為 $a,b$，共焦距半長為 $c$，則 $a^2-b^2=c^2$。雙曲線的貫軸長等於橢圓短軸長，故雙曲線半貫軸為 $b$。交點 $P$ 滿足 $\overline{PF_1}+\overline{PF_2}=2a$，且 $|\overline{PF_1}-\overline{PF_2}|=2b$，所以 $\overline{PF_1}\cdot\overline{PF_2}=\dfrac{(2a)^2-(2b)^2}{4}=a^2-b^2=c^2=64$。故 $c=8$，$\overline{F_1F_2}=2c=16$。