98 學測數學第 18 題

Question

坐標空間中 $xy$ 平面上有一正方形，其頂點為 $O(0,0,0)$，$A(8,0,0)$，$B(8,8,0)$，$C(0,8,0)$。另一點 $P$ 在 $xy$ 平面的上方，且與 $O,A,B,C$ 四點的距離皆等於 $6$。若 $x+by+cz=d$ 為通過 $A,B,P$ 三點的平面，則 $(b,c,d) = $ (____, ____, ____)。

Accepted Answer

答案：$b=0\ c=2\ d=8$
$P$ 到四頂點等距，故位於正方形中心上方，$P=(4,4,z)$。由 $OP=6$ 得 $4^2+4^2+z^2=36$，且 $z>0$，故 $z=2$。平面 $x+by+cz=d$ 通過 $A(8,0,0)$ 得 $d=8$，通過 $B(8,8,0)$ 得 $8+8b=8$，故 $b=0$。代入 $P(4,4,2)$ 得 $4+2c=8$，故 $c=2$，所以 $(b,c,d)=(0,2,8)$。