105學測數學多選第9題詳解

$z$ 軸可寫成 $x=0$、$y=0$，方向向量為 $(0,0,1)$，且其上的點形如 $(0,0,t)$。因為兩直線互為歪斜線的條件是「既不平行也不相交」，所以每個選項都要檢查這兩件事。 選項 $(1)$：$L_1$ 是 $x=0$、$z=0$，即 $y$ 軸。因為它與 $z$ 軸相交於原點，所以不是歪斜線。 選項 $(2)$：$L_2$ 是 $y=0$、$x+z=1$。把 $z$ 軸上的點 $(0,0,t)$ 代入，因為 $y=0$ 已成立而 $0+t=1$ 給出 $t=1$，所以兩者相交於 $(0,0,1)$，不是歪斜線。 選項 $(3)$：$L_3$ 是 $z=0$、$x+y=1$。因為它的方向向量為 $(1,-1,0)$，與 $(0,0,1)$ 不成比例，所以不平行；又把 $(0,0,t)$ 代入得 $t=0$，此時 $x+y=0\ne 1$ 矛盾，所以不相交。既不平行也不相交，$(3)$ 正確。 選項 $(4)$：$L_4$ 是 $x=1$、$y=1$。因為它的方向向量為 $(0,0,1)$，與 $z$ 軸方向向量相同，所以兩者平行，不是歪斜線。 選項 $(5)$：$L_5$ 是 $y=1$、$z=1$。因為它的方向向量為 $(1,0,0)$，與 $(0,0,1)$ 不成比例，所以不平行；又 $z$ 軸上的點恆有 $y=0$，與 $L_5$ 要求的 $y=1$ 矛盾，所以不相交。既不平行也不相交，$(5)$ 正確。 故選 $(3)(5)$。