給定 $a, b, c$ 皆為正整數（即 $a, b, c \ge 1$），多項式為 $$f(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + 2$$。 分析各選項： 1. 選項 $(1)$: 當 $x > 0$ 時，$$x^4, ax^3, bx^2, cx, 2$$ 均為正數，因此 $$f(x) > 0$$。所以 $f(x) = 0$ 沒有正的實根。 故 $(1)$ 正確。 2. 選項 $(2)$: 我們可以構造一個無實根的反例。令 $a = 1, b = 1, c = 1$，則 $$f(x) = x^4 + x^3 + x^2 + x + 2$$。 - 當 $x \ge 0$ 時，顯然 $f(x) > 0$。 - 當 $x \le -1$ 時，$$f(x) = (x^3 + x)(x + 1) + 2$$，因為 $x \le -1$ 使得 $$(x^3 + x) \le -2$$ 且 $$(x + 1) \le 0$$，故兩者乘積 $\ge 0$，所以 $f(x) \ge 2 > 0$。 - 當 $-1 < x < 0$ 時，$$f(x) = x^4 + x^2(x + 1) + (x + 2)$$。因為 $-1 < x < 0$ 使得 $x+1 > 0$ 且 $x+2 > 0$，故每一項均大於 $0$，所以 $f(x) > 0$。 因此，$$f(x) = x^4 + x^3 + x^2 + x + 2 > 0$$ 對所有實數 $x$ 均成立，即 $f(x) = 0$ 無實根。 故 $(2)$ 錯誤。 3. 選項 $(3)$: 我們可以構造一個全部都是實根且無虛根的反例。令 $$f(x) = (x + 1)^3 (x + 2) = x^4 + 5x^3 + 9x^2 + 7x + 2$$。此時 $a = 5, b = 9, c = 7$ 皆為正整數，且四個根（$-1, -1, -1, -2$）均為實根。 故 $(3)$ 錯誤。 4. 選項 $(4)$: 計算 $f(1)$ 與 $f(-1)$： - $$f(1) = 1 + a + b + c + 2 = a + b + c + 3$$ - $$f(-1) = 1 - a + b - c + 2 = -a + b - c + 3$$ 則 $$f(1) + f(-1) = (a + b + c + 3) + (-a + b - c + 3) = 2b + 6 = 2(b + 3)$$。 因為 $b$ 為正整數，$$2(b+3)$$ 必為偶數。 故 $(4)$ 正確。 5. 選項 $(5)$: 計算 $f(0)$ 與 $f(-1)$： - $$f(0) = 2 > 0$$ - $$f(-1) = b + 3 - (a + c)$$ 若已知 $a + c > b + 3$，則 $$f(-1) = b + 3 - (a + c) < 0$$。 因為 $f(0) > 0$ 且 $f(-1) < 0$，根據勘根定理，$$f(x) = 0$$ 在 $-1$ 與 $0$ 之間必有實根。 故 $(5)$ 正確。 綜上所述，正確的選項為 $(1)(4)(5)$。