105學測數學多選第10題詳解

選項 $(1)$：$f(x)=0$ 無正根。因為 $a$、$b$、$c$ 都是正整數，當 $x>0$ 時 $x^4$、$ax^3$、$bx^2$、$cx$、$2$ 全為正數，所以 $f(x)>0$，不可能為零，$(1)$ 正確。 選項 $(2)$：一定有實根。取 $a=b=c=1$ 得 $f(x)=x^4+x^3+x^2+x+2$，分段檢查它恆為正： 當 $x\ge 0$ 時每一項都非負且常數項為 $2$，所以 $f(x)>0$。 當 $x\le -1$ 時可寫成 $f(x)=\left(x^3+x\right)(x+1)+2$，因為 $x^3+x\le -2$ 且 $x+1\le 0$，兩者乘積非負，所以 $f(x)\ge 2>0$。 當 $-1<x<0$ 時可寫成 $f(x)=x^4+x^2(x+1)+(x+2)$，因為 $x+1>0$ 且 $x+2>0$，所以每一項皆為正，得 $f(x)>0$。 既然存在無實根的例子，$(2)$ 錯誤。 選項 $(3)$：一定有虛根。取 $f(x)=(x+1)^3(x+2)=x^4+5x^3+9x^2+7x+2$，此時 $a=5$、$b=9$、$c=7$ 都是正整數，而四個根 $-1,-1,-1,-2$ 全為實數。既然存在沒有虛根的例子，$(3)$ 錯誤。 選項 $(4)$：$f(1)+f(-1)$ 是偶數。因為 $$f(1)=1+a+b+c+2,\;f(-1)=1-a+b-c+2,$$ 兩式相加時 $a$ 與 $c$ 恰好相消，所以 $f(1)+f(-1)=2b+6=2(b+3)$，必為偶數，$(4)$ 正確。 選項 $(5)$：若 $a+c>b+3$ 則 $f(x)=0$ 有一根介於 $-1$ 與 $0$ 之間。因為 $f(0)=2>0$，而 $f(-1)=b+3-(a+c)$ 在 $a+c>b+3$ 時為負，所以 $f(-1)<0<f(0)$；又 $f$ 是多項式函數而連續，由勘根定理知 $-1$ 與 $0$ 之間必有一根，$(5)$ 正確。 故選 $(1)(4)(5)$。