103學測數學多選第10題詳解

逐一分析各選項： $(1)$ 因為 $f(1) > 0$、$f(2) < 0$、$f(3) > 0$，可知此二次函數在 $x=2$ 處為負，而在其兩側 $x=1, 3$ 處為正，這說明拋物線的開口必然向上（二次項係數大於 $0$）。故 $(1)$ 錯誤。 $(2)$ $g(x) = f(x) + (x-2)(x-3)$。由於 $f(x)$ 的二次項係數為正，且 $(x-2)(x-3) = x^2 - 5x + 6$ 的二次項係數為 $1 > 0$，所以相加後的二次多項式 $g(x)$ 的二次項係數亦為正。因此 $y = g(x)$ 的圖形開口向上。故 $(2)$ 錯誤。 $(3)$ 將 $x=1$ 代入 $g(x)$ 得： $$g(1) = f(1) + (1-2)(1-3) = f(1) + 2$$ 因為 $f(1) + 2 > f(1)$，所以 $g(1) > f(1)$ 成立。故 $(3)$ 正確。 $(4)$ 計算 $g(1)$ 與 $g(2)$ 的值： $$g(1) = f(1) + 2 > 0 \; (\text{因為 } f(1) > 0)$$ $$g(2) = f(2) + (2-2)(2-3) = f(2) < 0 \; (\text{因為 } f(2) < 0)$$ 根據勘根定理，二次函數 $g(x)$ 在 $1$ 與 $2$ 之間至少有一個實根。同理，由 $g(2) < 0$ 且 $g(3) = f(3) > 0$，在 $2$ 與 $3$ 之間亦至少有一實根。因為二次多項式最多只有兩個實根，因此 $g(x) = 0$ 在 $1$ 與 $2$ 之間恰有一個實根。故 $(4)$ 正確。 $(5)$ 由 $f(1) > 0$、$f(2) < 0$、$f(3) > 0$ 可知，$f(x) = 0$ 的兩根分別在 $(1,2)$ 與 $(2,3)$ 中。因此最大實根 $\alpha$ 滿足 $2 < \alpha < 3$。 將 $\alpha$ 代入 $g(x)$ 得： $$g(\alpha) = f(\alpha) + (\alpha-2)(\alpha-3) = 0 + (\alpha-2)(\alpha-3)$$ 當 $2 < \alpha < 3$ 時，$\alpha-2 > 0$ 且 $\alpha-3 < 0$，所以其乘積 $(\alpha-2)(\alpha-3) < 0$。因此 $g(\alpha) < 0$。故 $(5)$ 錯誤。 綜上所述，正確的選項為 $(3)(4)$。