97指考數學甲多選第7題詳解

由題意可知 $f'(x)$ 是一個二次函數，且其拋物線開口向上並交 $x$ 軸於 $(1, 0)$ 與 $(2, 0)$，可設為： $$f'(x) = k(x-1)(x-2) \ (k > 0)$$ 我們逐一分析各選項： $(1)$ 正確：因為 $f'(x)$ 的次數為 $2$，所以原函數 $f(x)$ 的次數必為 $3$，即 $f(x)$ 為三次多項式。 $(2)$ 錯誤：當 $1 < x < 2$ 時， $(x-1) > 0$ 且 $(x-2) < 0 \implies f'(x) < 0$。 在一階導數小於 $0$ 的區間，函數 $f(x)$ 必為遞減。 $(3)$ 正確：因為 $f'(x) = 0$ 有兩個相異實根 $x = 1, 2$，且在此兩根的兩側一階導函數均會變號。 因此在 $x = 1$ 與 $x = 2$ 處各有一個極值，總共恰有兩個極值（極大值與極小值）。 $(4)$ 錯誤：三次多項式方程式 $f(x) = 0$ 的實根個數與極值的乘積相關。 由於 $f(x)$ 可以做垂直平移（常數項未定），如果我們將圖形向上平移使極小值大於 $0$，則此時 $f(x)=0$ 只有一個實根，因此不一定有三個實根。 $(5)$ 錯誤：同理，我們可以平移 $f(x)$ 使得在區間 $[1, 2]$ 內，整個函數的圖形皆在 $x$ 軸上方（即 $f(x) > 0$），此時在此區間內無實根。 故選 $(1)(3)$。