97指考數學甲多選第6題詳解

由一元二次方程式公式解， $x^2 - 2x - n = 0$ 的兩根為： $$x = \dfrac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(-n)}}{2} = 1 \pm \sqrt{n + 1}$$ 因為 $a_n > b_n$，所以可得兩根之精確值為： $$a_n = 1 + \sqrt{n + 1},\ b_n = 1 - \sqrt{n + 1}$$ 我們逐一檢驗選項： $(1)$ 正確：對任意正整數 $n$，$a_n = 1 + \sqrt{n + 1} > 0$。 $(2)$ 正確： $$a_n + b_n = (1 + \sqrt{n + 1}) + (1 - \sqrt{n + 1}) = 2$$ $(3)$ 錯誤： $$b_{n+1} - b_n = (1 - \sqrt{n + 2}) - (1 - \sqrt{n + 1}) = \sqrt{n+1} - \sqrt{n+2} < 0$$ 故 $b_{n+1} < b_n$。 $(4)$ 正確： $$\lim_{n \to \infty} \dfrac{a_n a_{n+1}}{n} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{(1+\sqrt{n+1})(1+\sqrt{n+2})}{n}$$ $$= \lim_{n \to \infty} \left(\dfrac{1}{n}+\sqrt{\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^2}}+\sqrt{\dfrac{1}{n}+\dfrac{2}{n^2}}+\sqrt{1+\dfrac{3}{n}+\dfrac{2}{n^2}}\right)=1$$ $(5)$ 正確： $$\lim_{n \to \infty} \dfrac{a_n-b_n}{\sqrt n}=\lim_{n \to \infty} \dfrac{(1+\sqrt{n+1})-(1-\sqrt{n+1})}{\sqrt n}$$ $$=\lim_{n \to \infty} \dfrac{2\sqrt{n+1}}{\sqrt n}=\lim_{n \to \infty}2\sqrt{1+\dfrac{1}{n}}=2$$ 故選 $(1)(2)(4)(5)$。