由一元二次方程式公式解， $x^2 - 2x - n = 0$ 的兩根為： $$x = \dfrac{2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-n)}}{2} = 1 \pm \sqrt{1 + n}$$ 因為 $a_n > b_n$，所以可得兩根之精確值為： $$a_n = 1 + \sqrt{1 + n}, \ b_n = 1 - \sqrt{1 + n}$$ 我們逐一檢驗選項： (1) 正確：對任意正整數 $n \ge 1$，$\sqrt{1 + n} \ge \sqrt{2} > 1$，所以 $a_n = 1 + \sqrt{1 + n} > 0$ 恆成立。 (2) 正確：由根與係數關係可得：$a_n + b_n = -(-2) = 2$ 恆成立。 (3) 錯誤：當 $n$ 增加時，$\sqrt{1 + n}$ 增加，所以 $b_n = 1 - \sqrt{1 + n}$ 的值會變小。 故 $b_{n+1} < b_n$ 恆成立。 (4) 正確：我們求極限值： $$\lim_{n \to \infty} \dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{1 + \sqrt{n+2}}{1 + \sqrt{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{\frac{1}{\sqrt{n}} + \sqrt{1 + \frac{2}{n}}}{\frac{1}{\sqrt{n}} + \sqrt{1 + \frac{1}{n}}} = \dfrac{1}{1} = 1$$ (5) 錯誤：由根與係數關係，兩根之積 $a_n b_n = -n$，因此： $$\lim_{n \to \infty} \dfrac{a_n b_n}{n} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{-n}{n} = -1$$ 故選 $(1)(2)(4)$。