本題解析如下： 預設可視範圍：$-15 \le x \le 15$，$ -10 \le y \le 10$。 比例尺變為原來的 $\dfrac{1}{k}$ 時，代表相同物理視窗內顯示的座標跨度變為原來的 $k$ 倍。 **(1) 比例尺調整為原來的三分之一**： - $x$ 與 $y$ 的範圍寬度變為原來的 $3$ 倍。 - 可視範圍為： $$-15 \times 3 \le x \le 15 \times 3 \implies -45 \le x \le 45$$ $$-10 \times 3 \le y \le 10 \times 3 \implies -30 \le y \le 30$$ 故選項 $(1)$ 正確。 **(2) 直線斜率的變化**： - 比例尺的縮放僅改變視窗畫面在視覺上的顯示範圍與比例，並不改變座標平面上點的實際數值與直線本身的幾何性質。 - 直線斜率的數學定義 $m = \dfrac{dy}{dx}$ 保持不變。故選項 $(2)$ 錯誤。 **(3) 預設視窗下的交點可見性**： - 我們聯立拋物線與直線方程式來求交點： $$y = x^2 - 30x + 190$$ $$y = 5x - 60$$ - 兩式相等得： $$x^2 - 30x + 190 = 5x - 60 \implies x^2 - 35x + 250 = 0 \implies (x-10)(x-25) = 0$$ - 解得交點 $x$ 座標為 $x = 10$ 或 $x = 25$。代入直線方程式，得兩交點座標： - $P_1 = (10, -10)$ - $P_2 = (25, 65)$ - 檢視預設可視範圍 $[-15, 15] \times [-10, 10]$： - $P_1(10, -10)$ 的 $x=10$ 在 $[-15, 15]$ 內，$y=-10$ 在 $[-10, 10]$ 內（剛好在下邊界），故可見。 - $P_2(25, 65)$ 的 $x=25 > 15$，$y=65 > 10$，落在可視範圍外，故不可見。 - 故預設視窗只能看到一個交點。選項 $(3)$ 正確。 **(4) 比例尺調整為原來的五分之一時之可見性**： - 當比例尺調整為原來的 $\dfrac{1}{5}$ 時，可視範圍擴大為 $5$ 倍，變為： $$-75 \le x \le 75, \ -50 \le y \le 50$$ - 我們檢驗交點 $P_2(25, 65)$ 是否在此新範圍內： - $x = 25 \in [-75, 75]$ 成立，但 $y = 65$ 超出了 $y$ 的可視範圍 $[-50, 50]$。 - 故在此比例尺下，交點 $P_2$ 仍然無法看見。選項 $(4)$ 錯誤。 因此，正確的選項為 $(1)(3)$。