本題探討長度為 $5$ 的二進位數串之漢明距離（Hamming Distance）。基準訊息為 $X = 10010$。 **(1) 尋找與 $10010$ 相距最遠的訊息**： - 最大可能距離為 $5$（即每個位元的數字均不同，即將原數串每一位取反碼）。 - 將 $10010$ 的每一位取反，可得唯一的距離為 $5$ 的訊息為：$01101$。 - 選項中的 $11101$ 與 $10010$ 相比，只有第 $1$ 位元相同（均為 $1$），其餘 $4$ 位元均不同，故距離為 $4$，並非最遠。故選項 $(1)$ 錯誤。 **(2) 任兩訊息之間的最大可能距離**： - 由於訊息共有 $5$ 個位置，兩個訊息在所有 $5$ 個位置上的數字都不同時，其距離為 $5$（例如 $00000$ 與 $11111$ 的距離為 $5$）。 - 因此最大可能距離是 $5$，而非 $4$。故選項 $(2)$ 錯誤。 **(3) 與 $10010$ 相距為 $1$ 的訊息個數**： - 相距為 $1$ 代表與原訊息相比，恰有 $1$ 個位置的數字不同（其餘 $4$ 個位置相同）。 - 我們從 $5$ 個位置中選取 $1$ 個位置進行更換，方法數為： $$\mathrm{C}_1^5 = 5 \text{ 種}$$ 對應的 $5$ 個訊息為：$00010, \ 11010, \ 10110, \ 10000, \ 10011$。故選項 $(3)$ 正確。 **(4) 與 $10010$ 相距為 $2$ 的訊息個數**： - 相距為 $2$ 代表與原訊息相比，恰有 $2$ 個位置的數字不同（其餘 $3$ 個位置相同）。 - We select 2 positions to change: C(5, 2) = 10 ways. Thus there are 10 messages at distance 2. Option (4) is wrong. 因此，正確的選項僅有 $(3)$。