在平面圖形中，正五邊形與正六邊形共用一邊，令此邊為 $\overline{OA}$，其邊長為 $1$。即 $OA = 1$。 與頂點 $O$ 相鄰的邊分別為正五邊形的邊 $\overline{OC}$ （$OC = 1$）與正六邊形的邊 $\overline{OB}$ （$OB = 1$）。 與頂點 $A$ 相鄰的邊為 $\overline{AC}$ 與 $\overline{AB}$。我們逐步討論各選項： **(1) 計算 $\angle BAC$**： - 正五邊形的每一個內角為 $108^\circ$。在等腰三角形 $OAC$ 中，因為 $OA = OC = 1$，頂角 $\angle AOC = 108^\circ$，所以底角： $$\angle OAC = \dfrac{180^\circ - 108^\circ}{2} = 36^\circ$$ - 正六邊形的每一個內角為 $120^\circ$。在等腰三角形 $OAB$ 中，因為 $OA = OB = 1$，頂角 $\angle AOB = 120^\circ$，所以底角： $$\angle OAB = \dfrac{180^\circ - 120^\circ}{2} = 30^\circ$$ - 由此可得： $$\angle BAC = \angle OAC + \angle OAB = 36^\circ + 30^\circ = 66^\circ$$ 故選項 $(1)$ 錯誤。 **(2) 檢驗 $O$ 是否為 $\Delta ABC$ 的外接圓圓心**： - 外接圓圓心至三角形三個頂點的距離必須相等。 - 由已知，點 $O$ 到頂點 $A$、$B$、$C$ 的距離為： $$OA = OB = OC = 1$$ - 由於 $O$ 到 $A, B, C$ 三點距離均相等，因此 $O$ 確實為 $\Delta ABC$ 的外接圓圓心（且外接圓半徑 $R = 1$）。 故選項 $(2)$ 正確。 **(3) 計算 $\overline{AB}$ 長度**： - 在頂角為 $120^\circ$、兩腰長為 $1$ 的等腰三角形 $OAB$ 中，由餘弦定理可得： $$AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos 120^\circ = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) = 3 \implies AB = \sqrt{3}$$ 故選項 $(3)$ 正確。 **(4) 計算 $\overline{BC}$ 長度**： - 在頂點 $O$ 處，圍繞點 $O$ 的周角為 $360^\circ$。因此： $$\angle COB = 360^\circ - \angle AOC - \angle AOB = 360^\circ - 108^\circ - 120^\circ = 132^\circ$$ - 在腰長 $OB = OC = 1$、頂角 $\angle COB = 132^\circ$ 的等腰三角形 $OBC$ 中，由對稱性從 $O$ 向底邊 $\overline{BC}$ 作垂線，可將其分為兩個直角三角形，底邊長為： $$BC = 2 \cdot OB \cdot \sin\left(\dfrac{132^\circ}{2}\right) = 2 \sin 66^\circ$$ 故選項 $(4)$ 正確。 因此，正確的選項為 $(2)(3)(4)$。