91指考數學乙選填第5題詳解

考慮大八角星相鄰的兩個頂點 $A$、$B$ 以及大八角星的中心 $O$ 所構成的等腰三角形 $\Delta OAB$。 1. 中心角 $\angle AOB = \dfrac{360^\circ}{8} = 45^\circ$。 2. 大八角星頂點到中心的距離 $\overline{OA} = \overline{OB} = b$。 3. 相鄰兩個小八角星中心相距為 $\overline{AB}$。由於它們在外側相切且共有一個頂點，所以中心距剛好為兩倍的小八角星半徑，即 $\overline{AB} = 2a$。 在三角形 $\Delta OAB$ 中，套用餘弦定理： $$\overline{AB}^{\,2} = \overline{OA}^{\,2} + \overline{OB}^{\,2} - 2 \cdot \overline{OA} \cdot \overline{OB} \cdot \cos 45^\circ$$ $$(2a)^2 = b^2 + b^2 - 2b^2 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}$$ $$4a^2 = 2b^2 - \sqrt{2}b^2 = (2 - \sqrt{2})b^2$$ 整理可得比值平方為： $$\dfrac{a^2}{b^2} = \dfrac{2 - \sqrt{2}}{4}$$ 兩邊開平方根（比值為正實數）： $$\dfrac{a}{b} = \dfrac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$$ 因此比值為 $\dfrac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$。