考慮大八角星相鄰的兩個頂點 $A$、$B$ 以及大八角星的中心 $O$ 所構成的等腰三角形 $\Delta OAB$。 1. 中心角 $\angle AOB = \dfrac{360^\circ}{8} = 45^\circ$。 2. 大八角星頂點到中心的距離 $OA = OB = b$。 3. 相鄰兩個小八角星中心相距為 $AB$。由於它們在外側相切且共有一個頂點，所以中心距剛好為兩倍的小八角星半徑，即 $AB = 2a$。 在三角形 $\Delta OAB$ 中，套用餘弦定理： $$AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos 45^\circ$$ $$(2a)^2 = b^2 + b^2 - 2b^2 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}$$ $$4a^2 = 2b^2 - \sqrt{2}b^2 = (2 - \sqrt{2})b^2$$ 整理可得比值平方為： $$\dfrac{a^2}{b^2} = \dfrac{2 - \sqrt{2}}{4}$$ 兩邊開平方根（比值為正實數）： $$\dfrac{a}{b} = \dfrac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$$ 因此比值為 $\dfrac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$，對應圖中空格為 $6=2$，$7=2$。