109指考數學甲補考選填第11題詳解

1. 設 $\overline{AB} = \overline{AC} = s$（等腰三角形兩腰等長）。由題意，$s^2 = \overline{BC} = \sin \theta$。 2. 利用餘弦定理： 在 $\triangle ABC$ 中，$\overline{BC}^2 = \overline{AB}^2 + \overline{AC}^2 - 2 \cdot \overline{AB} \cdot \overline{AC} \cdot \cos \theta$。 因為 $s^2 = \overline{BC}$，所以 $(s^2)^2 = s^2 + s^2 - 2s^2 \cos \theta = 2s^2(1 - \cos \theta)$。 因為 $s > 0$，消去 $s^2$ 得 $s^2 = 2(1 - \cos \theta)$。 3. 代入 $s^2 = \sin \theta$： 因為 $\sin \theta = s^2 = 2(1 - \cos \theta)$，所以 $\sin \theta = 2 - 2\cos \theta$。 4. 利用半角公式解 $\theta$： 因為 $\sin \theta = 2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}$，且 $1 - \cos \theta = 2\sin^2\frac{\theta}{2}$，代入得： $$2\sin\dfrac{\theta}{2}\cos\dfrac{\theta}{2} = 4\sin^2\dfrac{\theta}{2}$$ 因為 $\theta \neq 0$（三角形的角），所以 $\sin\frac{\theta}{2} \neq 0$，兩邊消去 $2\sin\frac{\theta}{2}$ 得 $\cos\frac{\theta}{2} = 2\sin\frac{\theta}{2}$，即 $\tan\frac{\theta}{2} = \frac{1}{2}$。 5. 求 $\sin \theta$ 及 $s^2$： 因為 $\tan\frac{\theta}{2} = \frac{1}{2}$，所以 $\sin \theta = \frac{2\tan\frac{\theta}{2}}{1+\tan^2\frac{\theta}{2}} = \frac{2 \cdot \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{4}} = \frac{1}{\frac{5}{4}} = \frac{4}{5}$。 因此 $s^2 = \sin \theta = \frac{4}{5}$。 6. 計算三角形面積： 因為三角形面積公式為 $\frac{1}{2} \cdot \overline{AB} \cdot \overline{AC} \cdot \sin \theta$，所以： $$\text{面積} = \dfrac{1}{2} \cdot s^2 \cdot \sin \theta = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{4}{5} = \dfrac{8}{25}$$ 故填 $\frac{8}{25}$。