給定向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{a} = (1, 1, 0)$，$\overset{\large\rightharpoonup}{b} = (0, 1, 1)$。 我們先求這兩個向量的外積 $\overset{\large\rightharpoonup}{a} \times \overset{\large\rightharpoonup}{b}$： $$\overset{\large\rightharpoonup}{a} \times \overset{\large\rightharpoonup}{b} = \left( \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}, \ \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix}, \ \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} \right) = (1, -1, 1)$$ 這是一個非零向量：$\overset{\large\rightharpoonup}{a} \times \overset{\large\rightharpoonup}{b} \neq \overset{\large\rightharpoonup}{0}$。 根據題目中三向量滿足的關係式： $$\overset{\large\rightharpoonup}{a} \times \overset{\large\rightharpoonup}{b} + r\overset{\large\rightharpoonup}{c} = \overset{\large\rightharpoonup}{0} \implies \overset{\large\rightharpoonup}{a} \times \overset{\large\rightharpoonup}{b} = -r\overset{\large\rightharpoonup}{c}$$ 如果實數 $r = 0$，則等式右側為： $$-0 \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{c} = \overset{\large\rightharpoonup}{0}$$ 這會使得等式變為 $\overset{\large\rightharpoonup}{a} \times \overset{\large\rightharpoonup}{b} = \overset{\large\rightharpoonup}{0}$。但前面已求得 $\overset{\large\rightharpoonup}{a} \times \overset{\large\rightharpoonup}{b} = (1, -1, 1) \neq \overset{\large\rightharpoonup}{0}$，產生矛盾。 而當 $r \neq 0$ 時，總是可以找到唯一的向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{c} = -\dfrac{1}{r}(\overset{\large\rightharpoonup}{a} \times \overset{\large\rightharpoonup}{b}) = \left(-\dfrac{1}{r}, \dfrac{1}{r}, -\dfrac{1}{r}\right)$ 滿足該等式。 因此，實數 $r$ 不可能為 $0$。 故選 $(2)$。