根據題目中的散佈圖，我們可以讀出這 $11$ 位學生的 $(X, Y)$ 數據如下： $$(15, 22), \ (20, 26), \ (25, 32), \ (28, 25), \ (30, 27), \ (35, 25), \ (35, 35), \ (37, 36), \ (41, 28), \ (45, 33), \ (48, 36)$$ 我們分別將 $X$ 座標、$Y$ 座標，以及總分 $Z = X + Y$ 的數據列出並排序： 1. **$X$ 的數據排序**： $$15, \ 20, \ 25, \ 28, \ 30, \ \underline{35}, \ 35, \ 37, \ 41, \ 45, \ 48$$ - 資料個數 $n=11$，中位數為第 $6$ 筆數據，即 $X_{\text{中位數}} = 35$。 - $X$ 的全距為 $\max(X) - \min(X) = 48 - 15 = 33$。 - 計算 $X$ 的樣本標準差： $$\mu_X = 31.73, \ S_X = \sqrt{\dfrac{\sum_{i=1}^{11} (X_i - \mu_X)^2}{10}} \approx 10.23$$ 2. **$Y$ 的數據排序**： $$22, \ 25, \ 25, \ 26, \ 27, \ \underline{28}, \ 32, \ 33, \ 35, \ 36, \ 36$$ - 中位數為第 $6$ 筆數據，即 $Y_{\text{中位數}} = 28$。 - $Y$ 的全距為 $\max(Y) - \min(Y) = 36 - 22 = 14$。 - 計算 $Y$ 的樣本標準差： $$\mu_Y = 29.55, \ S_Y = \sqrt{\dfrac{\sum_{i=1}^{11} (Y_i - \mu_Y)^2}{10}} \approx 5.01$$ 3. **$Z = X + Y$ 的數據計算與排序**： - 各生總分分別為：$37, 46, 57, 53, 57, 60, 70, 73, 69, 78, 84$ - 排序後為： $$37, \ 46, \ 53, \ 57, \ 57, \ \underline{60}, \ 69, \ 70, \ 73, \ 78, \ 84$$ - $Z$ 的中位數為第 $6$ 筆數據，即 $Z_{\text{中位數}} = 60$。 我們逐一檢視各選項： - **選項 $(1)$**：$X$ 的中位數為 $35$，$Y$ 的中位數為 $28$，且 $35 > 28$。此選項正確。 - **選項 $(2)$**：從數據分布來看，$X$ 的跨度顯然比 $Y$ 寬廣，計算得其標準差 $S_X \approx 10.23 > S_Y \approx 5.01$。此選項正確。 - **選項 $(3)$**：$X$ 的全距為 $33$，$Y$ 的全距為 $14$，且 $33 > 14$。此選項正確。 - **選項 $(4)$**：$Z$ 的中位數為 $60$，而 $X_{\text{中位數}} + Y_{\text{中位數}} = 35 + 28 = 63$，兩者並不相等。此選項錯誤。 因此，正確的選項為 $(1)(2)(3)$。