依題意，設拋物線方程式為： $$f(x) = p(x - a)(x - b)$$ $$g(x) = q(x - b)(x - c)$$ 其中 $p > 0$，$q > 0$（因為兩拋物線均開口向上）。\\ 考慮兩函數相加之圖形 $y = f(x) + g(x)$： $$f(x) + g(x) = (x - b)[p(x - a) + q(x - c)] = (x - b)[(p + q)x - (pa + qc)]$$ % 使用雙反斜線換行 因為 $p + q > 0$，所以 $y = f(x) + g(x)$ 為一個二次多項式函數，其圖形必然是一條開口向上的拋物線（排除選項 $(1)(2)$）。\\ 令 $f(x) + g(x) = 0$，可求得其與 $x$ 軸的交點 $x$ 座標為： $$x = b \ \text{或}\ x = \dfrac{pa + qc}{p + q}$$ 因為至少有實根 $x = b$，所以此拋物線與 $x$ 軸必定有交點（排除選項 $(3)$）。\\ 現在我們來討論此二根是否可能相同： - 當 $b = \dfrac{pa + qc}{p + q}$ 時： $$b(p + q) = pa + qc \implies p(b - a) = q(c - b) \implies \dfrac{q}{p} = \dfrac{b - a}{c - b}$$ 因為 $a < b < c$，所以 $b - a > 0$ 且 $c - b > 0$，因此 $\dfrac{b - a}{c - b} > 0$。\\ 我們總是可以找到正實數 $p, q$ 滿足此比例。此時，拋物線與 $x$ 軸僅交於一點 $(b, 0)$，故選項 $(4)$ 可能。 - 當兩根不相等時，拋物線與 $x$ 軸交於兩點，故選項 $(5)$ 可能。\\ 故選 $(4)(5)$。