102學測數學多選第9題詳解

依題意，設兩拋物線方程式為： $$f(x) = p(x - a)(x - b),$$ $$g(x) = q(x - b)(x - c),$$ 其中 $p > 0$，$q > 0$（因為兩拋物線均開口向上）。 考慮 $y = f(x) + g(x)$： $$\begin{aligned} f(x) + g(x) &= (x - b)[p(x - a) + q(x - c)] \\[4pt] &= (x - b)[(p + q)x - (pa + qc)]. \end{aligned}$$ 因為 $p + q > 0$，所以 $y = f(x) + g(x)$ 為一個二次多項式函數，其圖形必為開口向上的拋物線（排除選項 $(1)(2)$）。 令 $f(x) + g(x) = 0$，可求得與 $x$ 軸的交點 $x$ 坐標為： $$x = b \;\text{或}\; x = \frac{pa + qc}{p + q}.$$ 因為至少有一個實根 $x = b$，所以此拋物線與 $x$ 軸必定有交點（排除選項 $(3)$）。 討論兩根是否可能相同： 當 $b = \frac{pa + qc}{p + q}$ 時， $$b(p + q) = pa + qc \implies p(b - a) = q(c - b) \implies \frac{q}{p} = \frac{b - a}{c - b}.$$ 因為 $a < b < c$，所以 $b - a > 0$ 且 $c - b > 0$，因此 $\frac{b - a}{c - b} > 0$。 總可以找到正實數 $p, q$ 滿足此比例，此時拋物線與 $x$ 軸僅交於一點 $(b, 0)$，故選項 $(4)$ 可能。 當兩根不相等時，拋物線與 $x$ 軸交於兩點，故選項 $(5)$ 可能。 故選 $(4)(5)$。