107指考數學乙非選第11題詳解

$(1)$ 因為 $f(3)=f(-7)$，所以二次函數圖形的對稱軸為 $x=\frac{3+(-7)}{2}=-2$。 因此對稱軸方程式為 $x=-2$。 $(2)$ 由 $f(x)=a(x-k)^2+b$ 且對稱軸為 $x=k$，得 $k=-2$。 因為圖形與 $x$ 軸交於相異兩點，所以方程式 $a(x+2)^2+b=0$ 有兩個相異實根。將方程式整理為 $(x+2)^2=-\frac{b}{a}$，要有兩相異實根，必須 $-\frac{b}{a}>0$，即 $\frac{b}{a}<0$。 因為 $\frac{b}{a}<0$，所以 $a$ 與 $b$ 異號，因此 $ab<0$，為負。 $(3)$ 設兩相異實根為 $-2-d$ 與 $-2+d$，其中 $d>0$（因為兩根對稱於 $x=-2$ 且相異）。 兩根之積為 $$(-2-d)(-2+d)=(-2)^2-d^2=4-d^2$$ 因為 $d>0$，所以 $4-d^2<4$，即兩根之積小於 $4$。得證。 故 $ (1)$ $x=-2$；$ (2)$ $ab<0$，為負；$ (3)$ 證明見解析。