107 指考數學乙第 11 題

Question

已知實係數二次多項式函數 $y=f(x)$ 滿足 $f(3)=f(-7)$。試回答下列問題：
$(1)$ 寫出 $y=f(x)$ 圖形的對稱軸方程式。
$(2)$ 若 $f(x)=a(x-k)^2+b$，且 $y=f(x)$ 的圖形與 $x$ 軸交於相異兩點，試判斷 $ab$ 乘積的值為正或負，並請說明理由。
$(3)$ 若方程式 $f(x)=0$ 有相異實根，試證兩根之積小於 $4$。

Accepted Answer

答案：$(1)$ $x=-2$；$(2)$ $ab<0$，為負；$(3)$ 證明見解析
$(1)$ 因 $f(3)=f(-7)$，二次函數圖形的對稱軸為 $x=\dfrac{3+(-7)}{2}=-2$。
$(2)$ 由 $f(x)=a(x-k)^2+b$ 且對稱軸為 $x=k$，可得 $k=-2$。圖形與 $x$ 軸交於相異兩點，表示 $a(x+2)^2+b=0$ 有兩相異實根，也就是 $(x+2)^2=-\dfrac{b}{a}>0$，故 $\dfrac{b}{a}0$。兩根之積為 $(-2-d)(-2+d)=4-d^2<4$，得證。