107 指考數學乙第 12 題

Question

某車商代理進口兩廠牌汽車，甲廠牌汽車每台成本 $100$ 萬元，此次進口上限 $20$ 台，售出一台淨利潤 $11$ 萬元；乙廠牌汽車每台成本 $120$ 萬元，此次進口上限 $30$ 台，售出一台淨利潤 $12$ 萬元。今車商準備 $4400$ 萬元作為此次汽車進口成本，且保證所進口的車輛必定全部售完。試回答下列問題。
$(1)$ 寫出此問題的線性規劃不等式及目標函數。
$(2)$ 在坐標平面上畫出可行解區域，並以斜線標示該區域。
$(3)$ 試問車商此次應進口甲、乙兩廠牌汽車各多少台，才能獲得最大利潤？又最大利潤是多少？

Accepted Answer

答案：$(1)$ $0\le x\le20, 0\le y\le30, 100x+120y\le4400$，最大化 $P=11x+12y$；$(3)$ 甲 $20$ 台、乙 $20$ 台，最大利潤 $460…
設 $x$、$y$ 分別為甲、乙兩廠牌進口台數。限制為 $0\le x\le20$、$0\le y\le30$、$100x+120y\le4400$，亦即 $5x+6y\le220$；目標函數為 $P=11x+12y$。可行區域頂點為 $(0,0)$、$(20,0)$、$(20,20)$、$(8,30)$、$(0,30)$。代入 $P$ 得 $0$、$220$、$460$、$448$、$360$，因此最大值在 $(20,20)$，應進口甲 $20$ 台、乙 $20$ 台，最大利潤為 $460$ 萬元。