我們來進行線性規劃與幾何分析： 已知 $A(4, -1)$ 與 $B(-2, 2)$ 兩點，向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{AB} = (-6, 3)$，直線 $AB$ 的斜率為： $$m = \dfrac{2 - (-1)}{-2 - 4} = -\dfrac{1}{2}$$ 由此可求得直線 $AB$ 的方程式為： $$y - 2 = -\dfrac{1}{2}(x + 2) \implies x + 2y = 2$$ 我們注意到聯立不等式中的第一個條件為 $x + 2y \ge 2$，這意味著可行解區域內的點 $C(x, y)$ 都位於直線 $AB$ 的上方或在其上。 $\triangle ABC$ 的面積公式為： $$\text{Area} = \dfrac{1}{2} \cdot \left|\overset{\large\rightharpoonup}{AB}\right| \cdot d(C, AB)$$ 其中 $d(C, AB)$ 為點 $C(x, y)$ 到直線 $AB$ ($x + 2y - 2 = 0$) 的距離。因為 $A$ 與 $B$ 兩點為定點，長度 $\left|\overset{\large\rightharpoonup}{AB}\right|$ 為定值，要使 $\triangle ABC$ 的面積最大，即需最大化距離 $d(C, AB)$： $$d(C, AB) = \dfrac{|x + 2y - 2|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \dfrac{x + 2y - 2}{\sqrt{5}}$$ 因此，本題等價於在可行解區域內，求目標函數 $f(x, y) = x + 2y$ 的最大值。 我們找出可行解區域的四個頂點： 1. **直線 $x + 2y = 2$ 與 $x - y = -4$ 的交點：** 兩式相減得 $3y = 6 \implies y = 2$，代回得 $x = -2$。交點為 $V_1(-2, 2)$（此點即為點 $B$）。 2. **直線 $x - y = -4$ 與 $y = 8$ 的交點：** 代入得 $x = 4$。交點為 $V_2(4, 8)$。 3. **直線 $y = 8$ 與 $3x + y = 23$ 的交點：** 代入得 $3x + 8 = 23 \implies 3x = 15 \implies x = 5$。交點為 $V_3(5, 8)$。 4. **直線 $3x + y = 23$ 與 $x + 2y = 2$ 的交點：** 由第二式得 $x = 2 - 2y$，代入第一式得 $3(2-2y) + y = 23 \implies 6 - 5y = 23 \implies 5y = -17 \implies y = -3.4$，進而求得 $x = 8.8$。交點為 $V_4(8.8, -3.4)$。 我們將這四個頂點代入目標函數 $f(x, y) = x + 2y$ 計算： * $f(-2, 2) = -2 + 2(2) = 2$ * $f(4, 8) = 4 + 2(8) = 20$ * $f(5, 8) = 5 + 2(8) = 21$ （最大值） * $f(8.8, -3.4) = 8.8 + 2(-3.4) = 2$ 比較可知，當點 $C$ 坐標為 $(5, 8)$ 時，目標函數有最大值 $21$，此時 $\triangle ABC$ 的面積最大。 故填 $(5, 8)$。